Sólo una pregunta rápida: Supongamos que quiero considerar QED o YM en 4 dimensiones siempre decimos que las constantes de acoplamiento son adimensionales y que el campo tiene entonces una dimensión de masa específica. ¿Qué ocurre si cambiamos las dimensiones que estamos considerando? ¿Cambian entonces las dimensiones de masa de los campos o las constantes de acoplamiento pasan a ser adimensionales?
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Stefan
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La acción $S$ debe ser siempre adimensional. En $d$ dimensiones que parece: $$ S = \int d^dx \mathcal{L}, $$ con $\mathcal{L}$ la densidad de Lagrange. Recordemos que $[x] = -1$ esto se deduce de $[x,p]=i$ (conmutador con $\hbar := 1$ ), tal que $[x] = -[p] = -1$ por lo tanto debemos tener: $[\mathcal{L}] = d$ . Un término de masa estándar sería $m^2\phi^2$ por lo que la dimensión del campo pasa a ser $[\phi] = 1/2(d-2)$ .
¿Cambian entonces las dimensiones de masa de los campos o de acoplamiento?
Como ha comprobado @Funzies, la dimensión de masa de los campos cambia, por ejemplo la dimensión de masa para campos escalares bosónicos es $[\phi]=\frac{d-2}{2}$ . Esto se debe a que siempre tienes un término cinético $(\partial \phi)^2$ en el Lagrangiano, y que el Lagrangiano tiene dimensión de masa $d$ tal que la dimensión de masa de la acción es cero.
Cuando se tiene en el Lagrangiano , un término interactuante del tipo $\alpha ~\phi^p$ debe tener $[\alpha]+ p [\phi]= d$ así que finalmente $[\alpha] = d - \frac{p(d-2)}{2}$
Por ejemplo, en $d=4$ dimensiones, un término interactivo en $\alpha ~\phi^4$ tiene una constante de acoplamiento adimensional $\alpha$ . Para otras dimensiones, esta constante de acoplamiento es dimensional, por ejemplo, en $d=6$ dimensiones, $[\alpha]=-2$
