¿Un cociente de un álgebra libre es noetheriano o artiniano?

Question

Este es un ejercicio de tutoría para mi curso de Módulos y Teoría de la Representación.

Sea $k$ sea un campo y $k\langle x,y \rangle$ denota el álgebra libre sobre $k$ con dos generadores. Sea $q\in k^*$ .

¿Es el anillo $$k\langle x, y \rangle / (yx - qxy),$$ ¿noetheriano o artiniano?

Sé que $k\langle x, y \rangle$ no es ni artiniano ni noetérico. También sé que en el caso de $q=1$ el anillo es isomorfo al anillo de polinomios y por tanto en ese caso es noetheriano (por el teorema de la base de Hilbert) pero no artiniano, ya que $(*)$ $I_n = (x^n)$ para $n\geq 0$ es una cadena descendente no estabilizadora.

No obstante, en caso de que $q\neq 1$ No sé cómo proceder. ¿Puedo utilizar la misma cadena $(*)$ para demostrar que no es artiniano? Y en cuanto a noetheriano, no tengo ni idea de cómo proceder.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

El anillo que está considerando es un caso particular de un álgebra simétrica cuántica . También se conoce con el nombre de plano cuántico y siempre es noetheriano (véase Brown and Goodearl's Conferencias sobre grupos cuánticos algebraicos a partir de §I.1.14. En particular, el teorema I.1.17).

Sobre la Artinianidad, puedes usar la misma cadena de ideales para demostrar que no puede ser Artiniana. Sea $A=k\langle x,y\rangle/(yx-qxy)$ y $I_n=(x^n)$ como hiciste, entonces decir que se estabiliza significa que existe $n$ tal que $x^n\in(x^{n+1})$ . Sin embargo, $A$ es un anillo graduado y $(x^{n+1})\subseteq A^{\geq n+1}$ mientras que $x^n\in A^n$ . Comparando los grados llegamos a una contradicción.