Tal y como está planteado ahora mismo, la primera parte del problema no es correcta; en general,
$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n W_i(T_i)$$
no converge a $0$ . Para ver esto consideremos el caso particular de que $T := 1$ . Claramente, $T$ es un tiempo de parada integrable, y por la propia definición de $T_n$ tenemos $T_n = n$ . Así,
$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n W_i(T_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n W_i(i).$$
Tenga en cuenta que $W_i(i)$ es gaussiano con media $0$ y varianza $i$ . Dado que las variables aleatorias son, por suposición, independientes, encontramos que la suma
$$S_n := \sum_{i=1}^n W_i(i)$$
es gaussiano con media $0$ y varianza
$$\sigma_n^2 = \sum_{i=1}^n i = \frac{1}{2} n(n+1).$$
En particular, $S_n$ iguales en distribución $\sqrt{\sigma_n^2} S_1 \sim N(0,\sigma_n^2)$ y así
$$\mathbb{P} \left( \left| \frac{S_n}{n} \right| > 1 \right) = \mathbb{P} \left( \frac{\sigma_n^2}{n} |S_1|> 1 \right) \xrightarrow[]{n \to \infty} \mathbb{P}(|S_1|>2)$$
que muestra que $S_n/n$ no converge en probabilidad (y por tanto no es casi seguro) a $0$ .
Creo que la declaración debe decir
$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (W_i(T_i)-W_i(T_{i-1})) \xrightarrow[]{n \to \infty} 0,$$
de hecho se deduce de la propiedad Markov fuerte del movimiento browniano que las variables aleatorias $X_i := W_i(T_i) - W_i(T_{i-1})$ son independientes e idénticamente distribuidos, por lo que podemos aplicar la ley fuerte de los grandes números para deducir que $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (W_i(T_i)-W_i(T_{i-1})) \xrightarrow[]{n \to \infty} \mathbb{E}(W_1(T)).$$ Para demostrar que $$\mathbb{E}(W_1(T))=0$$ Le sugiero que utilice técnicas de martingala, es decir, el hecho de que $(W_t)_{t \geq 0}$ y $(W_t^2-t)_{t \geq 0}$ son martingalas.
