Determinar si la composición de dos funciones es biyectiva

Question

Pregunta:

Sea $ \ A $ el conjunto de enteros Impares y $ \ B $ el conjunto de los números enteros pares.

Sea $ \ f: A \times B \to A \times A$ a través de $ \ f(a,b) = (3a -b, a+b)$ .

Sea $ \ g : A\times A \to B \times A$ vía $ \ g(c,d) = (c-d, 2c -d)$

(a) Calcule $ \ (g\circ f) (3,8)$

(b) Es $ \ g\circ f$ ¿inyectivo? ¿Es suryectiva?

Mi intento:

$ \ g\circ f: A \times B \to B \times A$ vía $ \ (g\circ f) (x,y) = (2(x-y), 5x -3y)$

$ \ (g\circ f)(3,8) = (-10,-9)$

No estoy seguro de si esta función es inyectiva y suryectiva. No se me ocurre ningún contraejemplo.

Answer 1

Defina $h: A \times B \rightarrow B \times A$ por $h(x,y) = (2x-2y, 5x-3y)$ .

Reclamación: $h$ no es suryectiva.

Prueba: El punto $(0,1)$ no es a imagen y semejanza de $h$ . Si lo fuera, habría un punto $(x,y) \in A \times B$ con $h(x,y) = (2x-2y, 5x-3y) = (0,1)$ . Esto implica que $2x-2y=0$ de modo que $x=y$ . Pero $x$ es impar y $y$ es par, por lo que se trata de una contradicción.

Reclamación: $h$ es inyectiva.

Prueba: Supongamos que $h(x,y)=h(a,b)$ . Esto dice que $2x-2y=2a-2b$ por lo que obtenemos $x-y=a-b$ o $x=y+a-b$ . Las segundas coordenadas nos dan $5x-3y=5a-3b$ . Sustituir en $x=y+a-b$ y haz el álgebra, y obtendrás $y=b$ . Vuelva a conectar esto a $x=y+a-b$ para ver que $x=a$ . Ahora tenemos $(x,y)=(a,b)$ Así que $h$ es inyectiva.