División entera polinómica

Question

Tengo un polinomio $p$ con coeficientes enteros, que pueden tener raíces de multiplicidad mayor que uno. Me gustaría obtener cada raíz una sola vez, así que calculo $g = \gcd(p, p')$ y dividir $q = p/g$ . Lo sé. $g$ también tiene coeficientes enteros, así que mi pregunta es: esa división mantiene $q$ también en $\Bbb Z$ ?

He probado con muchos polinomios aleatorios y parece que es así, pero ¿cómo puedo estar seguro de que siempre será así? ? Por ejemplo:

$$p = (x-7)\cdot(x-8)\cdot(x-8)\cdot(x-9)\cdot(x-9)\cdot(x-9)$$ $$p = x^6 - 50x^5 + 1040x^4 - 11518x^3 + 71631x^2 - 237168x + 326592$$

$$\gcd(p, p') = x^3 - 26x^2 + 225x - 648$$

$$p/q = x^3 - 24x^2 + 191x - 504$$

Answer 1

Lo que pides equivale básicamente a demostrar que si $p$ y $g$ tienen coeficientes enteros, y $p = gq$ , si significa $q$ también tiene coeficientes enteros. Sin embargo, esto no tiene por qué ser cierto:

$g = 2x + 6$ , $q = \frac12x + 2$ , $gq = p = x^2 + 7x + 12$

Sin embargo, si impone que ambos $p$ y $g$ tienen su coeficiente principal igual a $1$ entonces debe darse el caso de que $q$ también tiene coeficientes enteros.

¿Debo probarlo o quieres intentarlo? Empiece por demostrar que sólo necesita considerar el caso cuando $g = x + a$ y supongamos que $q$ tiene coeficientes no enteros y que $gq$ sólo tiene coeficientes enteros. ¿Qué implica esto?