Cómo diferenciar $\sqrt[5]{1/x}$

Question

Hola chicos me vendría bien un poco de ayuda con esta derivada:

$$\sqrt[5]{1/x}$$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

$$=-\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{-6/5}$$

Tengo problemas para simplificar esto a mi solución dada por lo que no sé si es correcto.

Solución dada:

$$-\frac{1}{5x\sqrt[5]{x}}$$

Answer 1

Bueno, tienes razón en que $$\frac{d}{dx} x ^ n = n x ^ {n-1}$$ y tienes razón en que para $p$ , $q$ enteros, siguiendo que $x^{-1} = \frac 1x$ , $x^{\frac 1q} = \sqrt[q]x$ y $(x^p)^q = x^{p\cdot q}$ tienes $$x^{-\frac pq} = \frac{1}{\sqrt[q]{x^p}}.$$

En tu caso eso significa que la derivada es $$\frac{-1}{5} x ^ {\frac{-6}5} = \frac{-1}{5 \sqrt[5]{x^6}}.$$

Answer 2

Tras la regla de la potencia y la cadena obtenemos $$\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x}\right)^{1/5-1}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$

Answer 3

Esta es mi opinión al respecto, explicando cada paso con la mayor claridad posible:

$$ \left(\sqrt[5]{\frac{1}{x}}\right)'= \left(x^{-\frac{1}{5}}\right)'= -\frac{1}{5}x^{\left(-\frac{1}{5}-1\right)}= -\frac{1}{5}x^{\left(-\frac{1}{5}-\frac{5}{5}\right)}= -\frac{1}{5}x^{-\frac{6}{5}}=\\ -\frac{1}{5\sqrt[5]{x^6}}= -\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{5+1}}}=-\frac{1}{5\sqrt[5]{x^5\cdot x}}= -\frac{1}{5\sqrt[5]{x^5}\cdot\sqrt[5]{x}}= -\frac{1}{5x\sqrt[5]{x}} $$

Como puede ver, coincide con la solución proporcionada en la nariz.

El complicado álgebra de abajo es probablemente lo que te ha despistado:

$$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\\ a^{\frac{n+m}{n}}=\sqrt[n]{a^{n+m}}=\sqrt[n]{a^n\cdot a^m}= \sqrt[n]{a^n}\cdot\sqrt[n]{a^m}=a\sqrt[n]{a^m} $$

Answer 4

Desde $(x^\alpha )' = \alpha x^{\alpha -1}$ y

$$f(x) = \sqrt[5]{1/x} =\left(\frac1x\right)^{\frac15} =\left(x^{-1}\right)^{\frac15} = x^{-\frac15}$$

entonces $$f'(x) = -\frac15 x^{-\frac15 -1}=-\frac15 x^{-\frac65 }$$

Answer 5

Reescribir la función inicial como $$\sqrt[5]{\frac{1}{x}}=\sqrt[5]{x^{-1}}=x^{-1/5}$$ entonces $$\frac{d}{dx}x^{-1/5}=-\frac{1}{5}x^{-\frac{6}{5}}$$