Cómo saber si una fórmula se conserva

Question

¿Pueden ayudarme a determinar cómo saber si una fórmula se conserva? Mi libro tiene 3 frases al respecto que son

1. las variables y las variables con nombre obtienen el mismo valor en el modelo y en el submodelo
2. Las fórmulas cuantificadoras "Exist" se conservan hasta
3. Las fórmulas cuantificadoras "para todos" se conservan a la baja

Eso está muy bien, pero sigue sin explicarme cómo determinar si una fórmula se conserva al alza, a la baja o no se conserva en absoluto.

Tengo 3 ejemplos: (perdón soy nuevo aquí, y no sé cómo escribir fórmulas)

Tenía 3 fórmulas, y las convertí en forma normal pernex, y ahora estos son mis ejemplos

1.xyz(¬P(y)(P(x)Q(z)))

este determiné que preserva abajo porque solo tiene cuantificadores forall ¿estoy en lo correcto?

2.xyz(P(y)(P(x)Q(z)))

este no sé cómo determinarlo, porque tiene cuantificadores exist y forall y todos están relacionados con una variable

3.xyz(P(y)(¬P(z)Q(x)))

este tampoco se como determinarlo porque tiene ambos cuantificadores exist y forall

¿me pueden explicar como determinar si se conserva arriba abajo o no se conserva?

Answer 1

Para 1., tienes razón. La fórmula sólo tiene universal cuantificadores; por tanto, es conservados bajo subestructuras (es decir, hacia abajo).

Intuitivamente, si todos objetos en el dominio $D$ de mi interpretación tienen alguna "propiedad" $P$ que si "restrinjo" la interpretación a un subconjunto de $D$ sigue sosteniendo que todos los objetos "son $P$ "(si todas las bolas de la caja son negras, si cojo la mitad de ellas para pasarlas a otra caja, la nueva sólo tendrá bolas negras dentro).

La fórmula 2. no se conserva porque no está cuantificada sólo por cuantificadores existenciales. Si hay $x$ y $y$ tal que para todo $z$ ..., no es seguro que cuando añado al dominio de interpretación más objetos, siga sosteniendo que ...

Consideremos el conjunto de números $A= \{ 0, 1, 2, 3 \}$ ; en este dominio es cierto que existe $x$ para todos $y$ tal que $(y \le x)$ es $3$ . Pero si "amplío" el dominio para incluir todo el conjunto $\mathbb N$ de los números naturales, tampoco es más cierto que : $\exists x \forall y(y \le x)$ .