Mapa de cobertura del anillo

Question

Cómo encontrar el mapa de cobertura universal del anillo de radio interior $\frac{1}{R}$ y radio exterior $R>1$ desde el semiplano derecho $H$ donde $H=\{z|Re(z)>0\}$ ?

Answer 1

La función exponencial es un mapa de cobertura de la franja vertical $\{z\in\mathbb C|s_1<\text{Re}(z)<s_2\}$ a un anillo. Así que un mapa biyectivo del semiplano a una franja es suficiente para responder ahora a esta pregunta. Una rama adecuada de la función logaritmo puede hacerlo fácilmente. De hecho la rama primaria de $\log(z)$ lleva el semiplano derecho a la franja horizontal $\{z\in\mathbb C|-\pi/2<\text{Im}(z)<\pi/2\}$ de forma biyectiva y holomórfica. Esto se puede convertir en la franja vertical deseada componiéndola con alguna multiplicación apropiada.