¿Cuál es la manera completa y correcta de enunciar formal/lógicamente la definición épsilon-delta de un límite, y su negación?

Question

¿Es ésta una forma exacta y correcta de representar la definición épsilon-delta en su totalidad?

$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ (0< |x-a| < \delta) \rightarrow (|f(x) - L| < \varepsilon)$$

(aunque sólo sea un poco errónea o inexacta, me gustaría saber cuál es la versión correcta).

También estaba inseguro de lo que parece negado debido a la pieza si y sólo si. Hasta ahora lo tengo a

$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) \neq L \Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ (0< |x-a| < \delta) \land (|f(x) - L| \geq \varepsilon)$$

¿Cuál es la forma correcta de enunciar tanto la definición como su negación? ¿Cómo se niega aquí la parte "si y sólo si"? Porque $a \Leftrightarrow b = (a \rightarrow b) \land (b \rightarrow a)$ por lo que negarlo significaría $(a \not\rightarrow b) \lor (b \not\rightarrow a)$

Answer 1

La definición, válida para $a,L \in \mathbb{R}$ parece estar bien.

Y también la negación debe estar bien, tenga en cuenta de hecho que la parte si y sólo si está fuera de la declaración, ya que es una parte de la definición, es decir

$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L \Leftrightarrow P$$

$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) \neq L \Leftrightarrow \lnot P$$

tal vez al final de la negación (y luego también para la definición), siguiendo la sugerencia de Fimpellizieri podríamos simplemente tomar

$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) \neq L \Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ (0< |x-a| < \delta), (|f(x) - L| \ge \varepsilon)$$

pero parece que no es esencial y equivalente.