Demuestra que el producto de dos matrices invertibles también es invertible

Question

Estoy trabajando en un problema de deberes, pero me falta algo de comprensión. Este es el problema:

Sea $A$ y $B$ sea invertible $n \times n$ matrices con $\det(A) = 3$ y $\det(B) = 4$ .

Sé que la matriz producto de dos matrices invertibles debe ser también invertible, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Estoy tratando de demostrarlo a través del producto de determinantes si es posible.

Answer 1

Sí, ya que $\det(AB) = \det(A)\cdot \det(B) = 3\cdot 4 = 12 \neq 0$ .

Answer 2

$C$ es invertible si para todos $y$ hay algo de $x$ tal que $Cx=y$ .

Supongamos que $A,B$ son invertibles y elegimos $y$ . Entonces hay $z$ tal que $Az=y$ y hay algunos $x$ tal que $Bx = z$ . Por lo tanto $ABx=y$ y por lo que vemos que $AB$ es invertible.

Answer 3

Es que $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ porque $AB(AB)^{-1}=ABB^{-1}A^{-1}=1\!\!1$ pero sólo para $n\times n$ matrices.

Answer 4

Supongamos que C es un producto de dos matrices invertibles .es decir. $C = AB$ existe $A^{-1}$ tal que $A^{-1}A = I = AA^{-1}$ y existe $B^-1$ tal que $B^{-1}B = I = B^{-1}B$ .

Tenemos que demostrar que para C existe un inverso derecho D tal que $CD = I$ así como un Inverso Izquierdo E tal que $EC = I$ .

Probemos que existe un Inverso de la Derecha :

lo sabemos, $C=AB$

Multiplicar $B^{-1}$ desde la derecha a ambos lados,

$=> CB^{-1} = ABB^{-1} => CB^{-1} = AI => CB^{-1} = A $

Multiplicando ambos lados por $A^{-1}$ desde la derecha,

$=> CB^{-1}A^{-1} = AA^{-1} => CB^{-1}A^{-1} = I $

Esto demuestra que el inverso derecho(D) de C es $B^{-1}A^{-1}$

Nota: podríamos multiplicar $A^{-1}$ y $B^{-1}$ en ambos lados porque existen y por el camino, sólo intentábamos reducir el lado derecho a la Matriz de Identidad.

Una prueba similar se puede dar para demostrar que existe un inverso de la izquierda para C (esta vez la multiplicación se tiene que hacer desde el lado izquierdo) y se llega a saber que el inverso de la izquierda es también el mismo.