Base para productos tensoriales

Question

Supongamos que $V_1$ y $V_2$ son $k$ -espacios vectoriales con bases $(e_i)_{i \in I}$ y $(f_j)_{j \in J}$ respectivamente. He visto la afirmación de que la colección de elementos de la forma $e_i \otimes f_j$ (con $\left(i,j\right) \in I \times J$ ) constituye una base para $V_1 \otimes V_2$ . Pero parece que me atasco con la prueba.

Mi pregunta: ¿Cuál es la forma más fácil de ver que el conjunto anterior es efectivamente linealmente independiente?

Answer 1

Construir un conjunto $\{\phi_{i,j}\}$ de formas lineales sobre el producto tensorial que es una base dual de la familia $\{e_i \otimes f_j\}$ (en el sentido de que para cada par $\left(i, j\right) \in I \times J$ el mapa $\phi_{i,j}$ envía $e_i \otimes f_j$ a $1$ mientras se envían todos los $e_{i'} \otimes f_{j'}$ con $\left(i', j'\right) \neq \left(i, j\right)$ a $0$ ). Esto implicará inmediatamente la independencia lineal.

Si $\{\psi_i\}$ es una base dual a su base $\{e_i\}$ de $V_1$ y $\{\rho_j\}$ es una base dual a su base $\{f_j\}$ de $V_2$ entonces puede considerar el mapa $\phi_{i,j} = \psi_i\otimes \rho_j:V_1\otimes V_2\to k\otimes k\cong k$ para cada par $\left(i, j\right) \in I \times J$ . Este mapa $\phi_{i,j}$ envía $e_i \otimes f_j$ a $1$ mientras se envían todos los $e_{i'} \otimes f_{j'}$ con $\left(i', j'\right) \neq \left(i, j\right)$ a $0$ .

Answer 2

En primer lugar, tomemos funciones lineales $\delta_i$ definido en $V_1$ y $\varphi_i$ definido en $V_2$ tal que $$\delta_i(e_i)=1$$ $$\delta_i(e_j)=0 \ \ i\neq j$$ $$\varphi_i(f_i)=1$$ $$\varphi_i(f_j)=0 \ \ i\neq j.$$ Consideremos ahora la forma bilineal $\phi_{ij}:V_1\times V_2\to \mathbb{R}$ dada por $\phi_{ij}(v_1,v_2) = \delta_i(v_1)\cdot\varphi_j(v_2)$ . La propiedad universal da una función lineal $\widetilde{\phi_{ij}}:V_1\otimes V_2\to \mathbb{R}$ que mapea $e_i\otimes f_j$ a $1$ y cualquier otro $e_{i'}\otimes f_{j'}$ con $i\neq i'$ o $j\neq j'$ a $0$ entonces son linealmente independientes.

Answer 3

Sólo mostraré que abarca $V_1\otimes V_2$ .

Considere $U=\operatorname{span}\{e_i\otimes f_j:i\in I,j\in J\}$ con $\{e_i:i\in I\}$ base para $V_1$ y $\{f_j:j\in J\}$ base para $V_2$ .

Tenemos trivialmente que $U$ es un subespacio de $V_1\otimes V_2$ .

Sea $h:V\times W \to V\otimes W$ sea el mapa bilineal asociado al producto tensorial a través de su propiedad universal. Es decir, $h(v,w)=v\otimes w$ .

Es evidente que $\operatorname{im}(h)=\operatorname{span}\{h(e_i,f_j)=e_i\otimes f_j: i\in I,j\in J\}=U$ . Pero, en este caso, $(U,h)$ también satisface la propiedad universal del producto tensorial. Por lo tanto, $U\cong V_1\otimes V_2$ . Entonces, $U=V_1\otimes V_2$ .

Así, $V_1\otimes V_2$ es generado por $\{e_i\otimes f_j:i\in I,j\in J\}$ .