Producto máximo de números que suman X

Question

Estoy tratando de encontrar una función $f(x)$ que da como resultado un conjunto de números enteros que suman $x$ y tiene el mayor producto posible.

Por ejemplo, $f(5) = (3,2)$ (o $(2,3)$ ) ya que el producto de 3 y 2 es mayor que cualquier otro producto que puedas obtener de números que sumen 5.

Hasta ahora lo he hecho por fuerza bruta, pero seguro que hay una forma mejor.

Answer 1

He aquí un resumen del argumento básico. En primer lugar, está claro que no se debe utilizar un factor de $1$ [excepto si $x=1$ (trivial)].

El siguiente no utiliza ningún factor $f \ge 5$ porque se podría sustituir $f$ por los dos factores $f-3,3$ manteniendo la misma suma pero $(f-3)\cdot 3>f$ proporcionado $f \ge 5.$

El siguiente no utiliza dos factores de $4$ porque $4 \cdot 4<3 \cdot 3 \cdot 2.$ Finalmente no se utilizan tres factores de $2$ porque $2 \cdot 2 \cdot 2<3 \cdot 3.$

Luego, el resto de la prueba consiste en formular el desglose, dependiendo de si es posible usar todos los 3, o todos los 3 y un 4, o todos los 3 y dos 2. No recuerdo más que eso, lo completaré más tarde. Pero la idea es usar tantos 3's como sea posible, y los argumentos anteriores descartan el uso de factores mayores o menores, excepto como se indica.

El artículo: Maximal Independent Sets and Separating Covers, por Vincent Vatter.

Apareció en el American Math. Monthly, vol 118 no.5 (mayo de 2011) a partir de la p 418. La Indroducción (en la primera página) es sobre este problema de producto maximal, y muestra (como se ha señalado anteriormente) que para $x>1$ el producto max $f(x)$ es $3^k$ si $x=3k,$ o $4 \cdot 3^{k-1}$ si $x=3k+1,$ o $2 \cdot 3^k$ si $x=3k+2.$ En el artículo se menciona la equivalencia de utilizar una $4$ frente a dos $2$ ya que $4=2\cdot 2$ y $4=2+2.$ Así que siempre se pueden usar sólo 2 y 3. Otra cosa (no tratada pero obvia) es que uno nunca usa tanto un 2 como un 4, porque $2 \cdot 4<3 \cdot 3.$