¿Cuál es el intervalo de convergencia correcto para $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^n}{n2^n} $ ?

Question

¿Cuál es el intervalo de convergencia correcto para esta serie? $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^n}{n2^n} $$

Después de usar la prueba de la proporción, encontré que el límite se acercaba a $\frac{1}{2}$ y descubrió que los puntos finales eran $-3$ y $1$ .

• Enchufé $1$ y simplificamos la fracción a $\frac{1}{n}$ que diverge, por lo que no se incluye en el intervalo.

• Para $-3$ creo que se simplifica a una serie alterna $(-1)^n\frac{1}{n}$ que converge por la prueba de la serie alterna.

Por lo tanto, creo que la respuesta es $[-3,1)$ para el Intervalo de Convergencia, ¿es correcto?

Answer 1

Sí, tienes razón.

También podemos hacer una prueba de raíces para encontrar el radio de convergencia.

$$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{x+1}{2\cdot n^\frac1n}\right|=\frac{|x+1|}{2}$$

Por lo tanto $r=2$ .

También ha verificado correctamente el límite.