Encontrar un producto máximo $c_1\cdot c_2\cdots c_n$ tal que la suma es $136$

Question

Necesito encontrar el máximo sobre todos los productos posibles $c_1\cdot c_2\cdots c_n$ donde $n$ varía entre todos los números enteros positivos . Y todo $c_i$ son cualquier real positivo número que satisface $\sum c_i = 136$

Primero:

Intento encontrar $n$ tal que $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} = 136 = \sum c_i$

Porque $n$ es un número entero utilizo el suelo $n_1=11 \cdot 1726$ y $n_2= -12 \cdot 1726$

Pero $n$ debe ser entero, y no veo cómo puedo resolver el problema de otra manera. Si alguien sabe cómo, se lo agradeceré. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Si la pregunta significa $n$ es una variable en lugar de un valor dado, suponiendo que $c_i$ s son positivos estamos encontrando esencialmente el $n$ que maximiza $({136\over n})^n$ como todos $c_is$ son iguales por $AMGM$ .

$n$ debe ser inferior a 136 como mayor $n$ generará un producto inferior a $1$ . El numerador de la derivada es $136^nln(136)(n^n)-136^nn^n(ln(n)+1)$ . Dejarlo estar $0$ tenemos $ln(136)-ln(n)-1=0$ donde $n={136\over e}$ . Este es el único máximo local ya que es la única solución a la derivada igual a $0$ .

Probamos los dos enteros más cercanos a $136\over e$ , $50$ y $51$ y averigüe $n=50$ maximiza el resultado.