Demostrar que $\min \{a^7,b^3,c^2,1\} \le abc$

Question

Si $a,b,c$ son tres números reales no negativos, demuéstralo:

$$\min \{a^7,b^3,c^2,1\} \le abc$$

He probado varias ideas con la media geométrica:

$$\min \{a^7,b^3,c^2,1\} \leq \sqrt[4]{a^7b^3c^2}$$

pero $\sqrt[4]{a^7b^3c^2} \leq abc$ no es cierto. Lo he intentado con otros medios pero nada significativo. Creo que estas ideas fallan porque la desigualdad no es homógena.

Answer 1

Sea nuestro mínimo igual a $k$ .

Así, $$a^{42}\geq k^6,$$ $$b^{42}\geq k^{14},$$ $$c^{42}\geq k^{21}$$ y $$1\geq k.$$ Así, $$(abc)^{42}\geq k^{6+14+21+1}$$ o $$abc\geq k.$$

Answer 2

En aras de la contradicción, supongamos que:

$$\min\{a^7,b^3,c^2,1\} > abc$$

Entonces:

$$a^7 > abc \Rightarrow a > (abc)^{\frac{1}{7}}$$

$$b^3 > abc \Rightarrow b > (abc)^{\frac{1}{3}}$$

$$c^2 > abc \Rightarrow c > (abc)^{\frac{1}{2}}$$

Además, porque $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7} < 1$ tenemos:

$$1 > abc\Rightarrow 1 > abc^{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}}$$

Multiplicando estas cuatro desigualdades, se deduce que:

$$abc > (abc)^{\frac{1}{7}} \cdot (abc)^{\frac{1}{3}}\cdot (abc)^{\frac{1}{2}} \cdot abc^{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}} = abc$$

una contradicción.

Answer 3

También se puede moler para obtener una respuesta:

Si $a,b,c \ge 1$ o cualquiera de $a,b,c$ es cero, entonces es evidente que la afirmación es cierta.

Así que podemos suponer que todos son estrictamente positivos y $\min (a,b,c) <1$ .

Si $a^7$ es el $\min$ entonces $a^{7 \over 5} \le b$ y $a^{7 \over 2} \le c$ así que $a^7 = a a^{7 \over 5} a^{7 \over 2} a^{11 \over 10} \le a a^{7 \over 5} a^{7 \over 2} \le abc$ .

El mismo análisis mutatis mutandis se aplica a $b,c$ .

Answer 4

Para un resultado positivo $a$ y $x>1$ , $$ min(a^x,1) \leq min(a,1) \leq a $$ Además, $$ [min(a,b,1)]^2 = min(a^2,b^2,1) \leq min(a,1) \, min(b,1) \, . $$ Este resultado se extiende inmediatamente al caso de tres o más variables. Aplicando las dos ecuaciones anteriores se obtiene $$ min(a^n,b^n,...,h^n,1) \leq a b ... h $$ para $n>0$ variables $a...h$ . La primera ecuación indica que $$ min(a^{n_1},b^{n_2},...,h^{n_n},1) \leq a b ... h $$ cuando $n_1...n_n\geq n$ .