¿Por qué se suelen utilizar distribuciones multivariantes para el modelo jerárquico cuando los errores son condicionalmente independientes?

Question

Supongamos que dispone de datos sobre $y_{it}$ : resultado $y$ de la unidad $i$ a la vez $t$ . Se ajusta un modelo de intercepción variable (jerárquico): $$y_{it} \sim Normal(\mu_{i}, \sigma_y)\\ \mu_i \sim Normal(0, \psi_{\mu})\\ \sigma_y \sim Cauchy(0,1)\\ \psi_{\mu} \sim Cauchy(0,1)\\ $$

A menudo veo especificaciones en las que los efectos aleatorios $\mu_i$ siguen alguna distribución multivariante. La justificación suele ser que los efectos aleatorios están correlacionados de algún modo. Por ejemplo, https://cran.r-project.org/web/packages/brms/vignettes/brms_multivariate.html habla de la necesidad de correlacionar un montón de interceptos aleatorios y propone una distribución multivariante para ello.

Esto me desconcierta, ya que normalmente la justificación de la variación de los interceptos es que los resultados $y_{it}$ pueden estar correlacionados entre periodos de tiempo $t$ pero no están correlacionados dentro de las unidades $i$ . En consecuencia, incluir los efectos aleatorios en el modelo significa ahora que $y$ son independientes entre sí. Si pensáramos que el $u_i$ estaban correlacionadas entre sí, entonces podríamos añadir otro conjunto de interceptos para modelar esas correlaciones de nivel superior. Sin embargo, ¡no suele ser el caso!

Entonces, ¿por qué la gente no utiliza probabilidades/prioridades normales univariantes en lugar de multivariantes?

Answer 1

Tu intuición funciona para modelos multinivel/jerárquicos univariantes, pero el enlace que proporcionas describe modelos multinivel multivariantes. Así que en lugar de

datos sobre $_{}$ : resultado $$ de la unidad $$ a la vez $$

los resultados son un vector, digamos $[y_{it}, z_{it}]^{'}$ (variables tarsus y back en el ejemplo publicado). Por lo tanto, hay 2 interceptos aleatorios (para $y$ y $z$ ) en lugar de 1 (para $y$ solamente), digamos:

• $u_i$ el grado en que el sujeto $i$ La puntuación media de $y$ es superior/inferior a la media general $\bar{y}$
• $v_i$ el grado en que el sujeto $i$ La puntuación media de $z$ es superior/inferior a la media general $\bar{z}$

Condicionar estos interceptos aleatorios puede hacer que los errores $[e^{(y)}_{it}, e^{(z)}_{it}]^{'}$ condicionalmente independiente en todas las ocasiones (por ejemplo $t$ con $t-1$ ) dentro de cada tema $i$ . Sin embargo, eso no tiene nada que ver con las correlaciones entre variables a nivel intra o intersujeto.

• Correlación de $u_i$ con $v_i$ indica si los sujetos por encima de la media en $y$ tienden a estar por encima/debajo de la media en $z$
• Correlación de $e^{(y)}_{it}$ con $e^{(z)}_{it}$ indica si el sujeto $i$ en más alto de lo habitual en $y$ a tiempo $t$ también tiende a ser mayor/menor de lo habitual en $z$ a tiempo $t$

Así, mientras que un MLM univariante descompone $y_{it}$ a nivel de materia ( $\sigma^2_i$ ) y a nivel de ocasión ( $\sigma^2_t$ ), un MLM multivariante descompone toda la matriz de covarianza $\Sigma$ entre múltiples resultados ( $y$ y $z$ ) en un tema $\Sigma_i$ y un nivel de ocasión $\Sigma_t$ . Esta es la base del SEM multinivel, si está familiarizado con este tipo de modelos, por ejemplo:

https://psu-psychology.github.io/psy-597-SEM/15_multilevel/multilevel_sem.html#multilevel-sem-msem-overview

Para que quede claro: las correlaciones entre variables de efectos aleatorios (en el Nivel 2) o errores (en el Nivel 1) son no una violación de la independencia condicional. En función de los efectos aleatorios, los vectores de error de filas de datos siguen siendo (condicionalmente) independientes, aunque todavía puede haber correlación entre columnas de los datos (es decir, correlación de los residuos de la variable $y$ con los residuos de la variable $z$ ).