El normalizador de $\mathrm{GL}(n,\mathbf Z)$ en $\mathrm{GL}(n,\mathbf Q)$

Question

Parece que el normalizador de $H=\mathrm{GL}(n,\mathbf Z)$ en $G=\mathrm{GL}(n,\mathbf Q)$ es "casi" igual a sí mismo, es decir, $$ N_G(\mathrm{GL}(n,\mathbf Z))=Z(G) \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbf Z) $$ donde $Z(G)$ es el centro de $G.$ ¿Existe alguna prueba sencilla de este hecho? En términos más generales, ¿para qué dominios integrales $R$ se sabe que $\mathrm{GL}(n,R)$ "casi" coincide con su normalizador en el grupo $\mathrm{GL}(n,Q(R))$ donde $Q(R)$ es el campo cociente de $R?$

Answer 1

Para un dominio integral $R$ con campo cociente $k$ , $GL_n(R)$ es el estabilizador en $GL_n(k)$ de la $R$ -módulo $R^n$ en $k^n$ . Cualquier cosa que normalice $GL_n(R)$ envía $R^n$ a otro subconjunto de $k^n$ estabilizado por $GL_n(R)$ . Para un PID $R$ a given $0\not=v\in k^n$ puede tener su "denominador" recogido para escribir $v=t\cdot v'$ con $v'$ primitivo, $t\in k^\times$ . Entonces $GL_n(R)\cdot v = t\cdot GL_n(R)\cdot w=t\cdot R^n$ . Es decir, para un PID, el valor distinto de cero $GL_n(R)$ son múltiplos escalares de $R^n$ . Así, cualquier cosa $h$ en el normalizador de $GL_n(R)$ mapas $R^n$ à $t\cdot R^n$ para algunos $t\in k^\times$ hasta $GL_n(R)$ es un escalar.

Answer 2

Esto es válido para $GL_n(\mathbb{Z}_p)$ en $GL_n(\mathbb{Q}_p)$ para cada primo. Utilice $\prod\limits_p GL_n(\mathbb{Z}_p) \subset \prod\limits_p GL_n(\mathbb{Q}_p)$ y se cruzan con la diagonal incrustada $GL_n(\mathbb{Q})$ . Esto te da la prueba.