En el Si $p,q$ es de los primeros, solucionar $p^3-q^5=(p+q)^2$., el autor pide a resolver la ecuación de $p^3-q^5=(p+q)^2$ para los números primos $p$ $q$ . Una prueba de que $p=7, q=3$ es la única solución.
En este "seguimiento", me gustaría pedir una prueba de que no depende de la $p$ $q$ siendo primos, pero que permite introducir números enteros positivos.
Tengo un elemental de prueba para el caso en que $p$ $q$ son relativamente primos, pero el caso en que no se me está dando un duro momento. Nadie aquí que pueda ayudar?
9/12 actualización: Como ya he comentado, me puede haber sido mal cuando yo dije que yo tenía una prueba para el caso de que $p$ $q$ son relativamente primos, pero debería ser posible demostrar con la condición adicional de $(p,q+1)=1$ ($q-1$ como había escrito en el comentario). Aquí está la prueba:
Suponga que $p$ $q$ son enteros positivos tales que $$p^3-q^5=(p+q)^2\text{,}\tag{1} $$ $$(p,q)=1,\tag{2}$$ $$(p,q+1)=1.\tag{3}$$ Tenga en cuenta que (1) implica que $$q<p.\tag{4}$$ Evaluación (1) modulo $q$ da $p^3\equiv p^2\pmod{q}$, así que por (2), $p\equiv1\pmod{q}$, es decir, existe $a\in\mathbb{N}$ tal que $$p=aq+1.\tag{5}$$ Del mismo modo, si queremos evaluar (1) modulo $p$, obtenemos $-q^5\equiv q^2\pmod{p}$, lo $p$ divide $q^5+q^2=q^2(q+1)(q^2-q+1)$ y, por tanto, por (2) y (3), $$p\;|\;q^2-q+1.\tag{6}$$ La combinación de (5) y (6), obtenemos que $p$ divide $q^2-q+1-aq-1=q(q-a-1)$ y, por tanto, por (2), $$p\;|\;q-a-1\tag{7}.$$ Tenga en cuenta que, desde el lado de la derecha en (6) es positivo, $q-a-1$ no debe ser negativo. Por otro lado, (4) implica que no puede ser positiva, por lo que es $0$ y tenemos $a=q-1$ y por lo tanto $$p=q^2-q+1.\tag{8}$$ Ahora, sustituyendo (8) en (1) y la evaluación del modulo $q^2$ da $-3q+1\equiv1\pmod{q^2}$, es decir, $q^2$ divide $3q$ que obliga a $q=3$$p=7$.
