Si $p$, $q$ son productos naturales, solucionar $p^3-q^5=(p+q)^2$.

Question

En el Si $p,q$ es de los primeros, solucionar $p^3-q^5=(p+q)^2$., el autor pide a resolver la ecuación de $p^3-q^5=(p+q)^2$ para los números primos $p$ $q$ . Una prueba de que $p=7, q=3$ es la única solución.

En este "seguimiento", me gustaría pedir una prueba de que no depende de la $p$ $q$ siendo primos, pero que permite introducir números enteros positivos.

Tengo un elemental de prueba para el caso en que $p$ $q$ son relativamente primos, pero el caso en que no se me está dando un duro momento. Nadie aquí que pueda ayudar?

9/12 actualización: Como ya he comentado, me puede haber sido mal cuando yo dije que yo tenía una prueba para el caso de que $p$ $q$ son relativamente primos, pero debería ser posible demostrar con la condición adicional de $(p,q+1)=1$ ($q-1$ como había escrito en el comentario). Aquí está la prueba:

Suponga que $p$ $q$ son enteros positivos tales que $$p^3-q^5=(p+q)^2\text{,}\tag{1}$$ $$(p,q)=1,\tag{2}$$ $$(p,q+1)=1.\tag{3}$$ Tenga en cuenta que (1) implica que $$q<p.\tag{4}$$ Evaluación (1) modulo $q$ da $p^3\equiv p^2\pmod{q}$, así que por (2), $p\equiv1\pmod{q}$, es decir, existe $a\in\mathbb{N}$ tal que $$p=aq+1.\tag{5}$$ Del mismo modo, si queremos evaluar (1) modulo $p$, obtenemos $-q^5\equiv q^2\pmod{p}$, lo $p$ divide $q^5+q^2=q^2(q+1)(q^2-q+1)$ y, por tanto, por (2) y (3), $$p\;|\;q^2-q+1.\tag{6}$$ La combinación de (5) y (6), obtenemos que $p$ divide $q^2-q+1-aq-1=q(q-a-1)$ y, por tanto, por (2), $$p\;|\;q-a-1\tag{7}.$$ Tenga en cuenta que, desde el lado de la derecha en (6) es positivo, $q-a-1$ no debe ser negativo. Por otro lado, (4) implica que no puede ser positiva, por lo que es $0$ y tenemos $a=q-1$ y por lo tanto $$p=q^2-q+1.\tag{8}$$ Ahora, sustituyendo (8) en (1) y la evaluación del modulo $q^2$ da $-3q+1\equiv1\pmod{q^2}$, es decir, $q^2$ divide $3q$ que obliga a $q=3$$p=7$.

Answer 1

No es sólo la solución de $(p,q)=(2\cdot 3+1,3)$.

Si como usted dice $(p,q)=1$ ( $p<q$ ), a continuación, $q|p-1$ ( $p^2(p-1)=q^5+q^2+2pq$ , la división y el uso de la simplificación de la regla). Por lo tanto existe una única y positiva entero $\lambda$ tal que $p=\lambda q+1$. Poner esto en la ecuación, obtenemos $$\lambda^3q^2+2\lambda^2q+\lambda (1-2q)-(q^4+q^2+2)=0.$$

Si $q$ es impar (también vale si $q$ es incluso), a continuación, $2$ divide $(q^4+q^2+2)$, $\lambda-2$ divide al polinomio en la PREPA en la ecuación anterior. Compruebe que $\lambda^3q^2+2\lambda^2q+\lambda (1-2q)-(q^4+q^2+2)$, es igual a $$(\lambda-2)[\lambda^2 q^2+(2q^2+2q)\lambda+(4q^2+2q+1)$$ además de los siguientes resto de fuga $$-q^4-8q^2+3q=0.$$ Desde $q\neq 0$ por la simplificación y el uso de Fubini del método, se obtiene la raíz de $q=3$, y una plaza de la ecuación racional sin raíces. Edit: También, tenemos que estudiar las raíces del polinomio en el cociente $\lambda^2 q^2+(2q^2+2q)\lambda+(4q^2+2q+1)$, pero escribimos su discriminante y vemos que no hay raíces reales.

Creo que se pueden hacer estos cálculos, en otro caso, lo siento. Si hay errores que un moderador puede borrar o mover esta entrada. Gracias por tu problema.