límite de funciones y la integración

Question

Sea $f_n:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sea una sucesión de funciones medibles de Lebesgue no negativas y supongamos que $\lim_{n\rightarrow \infty}\int_\mathbb{R}f_n=0.$ Entonces, ¿debe ser que $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=0 $ ¿en casi todas partes? Puedo demostrar fácilmente $\liminf_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=0 $ casi en todas partes por el lema de Fatou, pero parece algo difícil demostrar la afirmación original.

Answer 1

Consideremos las funciones características de $[0,1],[0,1/2],[1/2,1],[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1], \dots $