Calcular el tiempo necesario para completar una operación en función del tiempo

Question

1 operación se complejiza a partir de otras N operaciones "pequeñas", cada vez que completo una operación pequeña, el tiempo que necesito para completar la siguiente, se reduce en X.

¿Cómo puedo calcular el tiempo necesario para toda la operación?

Por ejemplo, quiero minar bitcoin, cada vez que tengo éxito en la minería compro más equipo de minería con el dinero, por lo que la próxima minería será más rápida y así sucesivamente, hasta que llegue a una cierta cantidad de dinero.

¿Cómo puedo abordar este tipo de problema?

Answer 1

Sea $T_i,\ i=1...N$ representa el tiempo necesario para completar el $i$ la pequeña operación. Usted tiene que $T_{i+1} = T_{i}-X$ y la primera operación tiene un coste fijo $T_1 = const$ . También el tiempo total para completar toda la operación es $\sum_{i=1}^N T_i$

Ahora primero tratamos de resolver la relación de recurrencia para el $T_i$ . Expandiendo algún término encontramos : $$ T_1 = cst \\ T_2 = cst -X \\ T_3 = cst -X -X \\ ... $$ Concluimos que $T_i = T_1 -(i-1)X$ . Ahora podemos calcular todo el tiempo : $$ \sum_{i=1}^N T_i = \sum_{i=1}^N \left[T_1 -(i-1)X \right] = \sum_{i=1}^N T_1 - X\sum_{i=1}^N (i-1) = N\ T_1 -X\ \frac{N(N-1)}{2} $$