OK, aquí está mi argumento (perdón por el retraso).
En primer lugar, $Z$ es esencialmente el máximo del valor absoluto del polinomio $P(z)=\prod_j(1-z_jz)$ en la circunferencia de la unidad (hasta un factor de $n$ pero no es perceptible a la escala de la que estamos hablando).
En segundo lugar, el máximo del valor absoluto de un polinomio (trigonométrico) de grado $K$ se puede leer desde cualquier $AK$ puntos distribuidos uniformemente en la circunferencia unitaria $\mathbb T$ (por ejemplo, raíces de la unidad de grado $AK$ ) con un error relativo de orden $A^{-1}$ .
Ahora dejemos que $\psi(z)=\log(1-z)$ . Queremos encontrar la distribución asintótica de la $\max_z n^{-1/2}Re\sum_j \psi(zz_j)$ donde $z_j$ son variables aleatorias i.i.d. uniformes. Dado que es el logaritmo de $|P(z)|$ se puede hallar el máximo utilizando $10n$ puntos.
Descomponer $\psi(z)$ en su serie de Fourier $-\sum_{k\ge 1}\frac 1kz^k$ . Entonces, formalmente, tenemos $n^{-1/2}\sum_j \psi(zz_j)=-\sum_k\left(n^{-1/2}\sum_j z_j^k\right)\frac{z^k}{k}$ . Es tentador decir que las variables aleatorias $\xi_n,k=n^{-1/2}\sum_j z_j^k$ convergen a los gaussianos complejos estándar no correlacionados $\xi_k$ por el CLT en distribución y, por tanto, toda la suma converge en distribución a la función aleatoria $F(z)=\sum_k\xi_k\frac{z^k}k$ Así que $n^{-1/2}\log Z$ converge a $\max_z\Re F(z)$ (el $-$ el signo no importa porque la distribución límite es simétrica). Este argumento sería válido literalmente si tuviéramos una suma finita en $k$ pero, por supuesto, es patentemente falso para la serie infinita (sólo porque si sustituimos $\max$ por $\min$ al final obtenemos un sinsentido evidente). Aun así, se puede salvar si lo hacemos con más cuidado.
Sea $K$ atropellar los poderes de $2$ . Elija algunos grandes $K_0$ y aplicar el argumento ingenuo anterior a $\sum_{k=1}^{K_0}$ . Entonces podemos decir con seguridad que el primer $K_0$ términos de la serie nos dan esencialmente la función aleatoria $F_{K_0}(z)$ que es el $K_0$ -ésima suma parcial de $F$ cuando $n$ es lo suficientemente grande.
Nuestra principal tarea será demostrar que el resto de la serie no puede cambiar demasiado el máximo. Más precisamente, sólo contribuye con un pequeño error absoluto con alta probabilidad.
Para ello, necesitamos
Lemma: Sea $f(z)$ sea una función analítica en el disco unitario con $f(0)=0$ , $|\Im f|\le \frac 12$ . Entonces tenemos $\int_{\mathbb T}e^{\Re f}dm\le \exp\left(2\int_{\mathbb T}|f|^2dm\right)$ donde $m$ es la medida de Haar en $\mathbb T$ .
Prueba: Por Cauchy-Schwartz, $$ \left(\int_{\mathbb T}e^{\Re f}dm\right)^2\le \left(\int_{\mathbb T}e^{2\Re f}e^{-2|\Im f|^2}dm\right)\left(\int_{\mathbb T}e^{2|\Im f|^2}dm\right) $$ Tenga en cuenta que si $|\Im w|\le 1$ tenemos $e^{\Re w}e^{-|\Im w|^2}\le \Re e^w$ . Por tanto, la primera integral no supera $\int_{\mathbb T}\Re e^{2f}dm=\Re e^{2f(0)}=1$ . Siguiente, $e^s\le 1+2s$ para $0\le s\le\frac 12$ Así que $\int_{\mathbb T}e^{2|\Im f|^2}dm\le 1+4\int_{\mathbb T}|\Im f|^2dm\le 1+4\int_{\mathbb T}|f|^2dm$ . Tomando la raíz cuadrada se convierte $4$ en $2$ y queda por utilizar que $1+s\le e^s$
La consecuencia inmediata del Lemma 1 es una estimación de tipo Bernstein para $G_K(z)=\sum_{k\in (K,2K]}\left(n^{-1/2}\sum_j z_j^k\right)\frac{z^k}{k}$ $$ P(\max|\Re G_K|\ge 2T)\le 20Ke^{-T^2K/9} $$ si $0\le TK\le \sqrt n$ digamos.
De hecho, basta con utilizar el truco de Bernstein sobre los desplazamientos aleatorios independientes de $g_K(z)=\sum_{k\in (K,2K]}\frac{z^k}{k}$ : $$ E e^{\pm t\Re G_K(z)}\le \left(\int_{\mathbb T}e^{\Re tn^{-1/2}g_K}dm\right)^n\le e^{2t^2/K} $$ para cada $t\le \sqrt n/2$ (utilizamos el Lemma para hacer la última estimación) y ponemos $t=\frac{TK}{3}$ . A continuación, lea el máximo de $10K$ puntos con un error relativo pequeño y hacer el límite de unión trivial.
Elegir $T=K^{-1/3}$ vemos que podemos ignorar con seguridad la suma de $K=K_0$ à $K=\sqrt n$ si $K_0$ es lo suficientemente grande. Ahora nos queda $$ G_K(z)=\sum_{k\ge \sqrt n}\left(n^{-1/2}\sum_j z_j^k)\right)\frac{z^k}{k} $$ que tratar. Recordemos que todo lo que queremos aquí es demostrar que es pequeño en $10n$ puntos distribuidos uniformemente. De nuevo, si $g(z)=\sum_{k\ge \sqrt n}\frac{z^k}{k}$ tenemos $|\Im g|\le 10$ por lo que podemos utilizar el mismo truco y obtener $$ P(\max_{10n\text{ points}}|\Re G|\ge 2T)\le 20n e^{n^{-1/2}t^2-tT} $$ si $0\le t\le \sqrt n/20$ digamos. Aquí no necesitamos ser avariciosos en absoluto: basta con tomar un pequeño $T$ y elija $t=\frac{2\log n}T$ .
Ahora, volviendo a su problema determinante original, vemos que la norma de la matriz inversa es esencialmente $Z/D$ donde $D=\min_i\prod_{j:j\ne i}|z_i-z_j|$ . Conocemos la distribución de $\log Z$ y tenemos el límite trivial de Hadamard $D\le n$ . Esto ya te dice que el típico $\lambda_1$ es como máximo $e^{-c\sqrt n}$ . El siguiente paso lógico sería investigar la distribución de $\log D$ .
