Concepto de límites al infinito

Question

Dos ejemplos que me gustaría comentar para ayudarme a aclarar un concepto clave de los límites en el infinito.

Ej. 1 $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^6+5}-x^3)$ . Argumenté (para mis adentros) que como $x$ es muy grande, entonces el $5$ se vuelve despreciable. Por lo tanto, obtendría $\vert x^3\vert-x^3$ . En caso positivo $x$ este $=0$ . Funciona. Perfecto. Tal vez este es un concepto defectuoso y acabo de tener suerte de que es cero.

Luego llego al ejemplo que no sé por qué no funciona igual:

Ej. 2 $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^6+5x^3}-x^3)$ . Si resuelvo esto multiplicando por el conjugado, obtengo por supuesto la respuesta correcta de $5/2.$ Pero no me queda claro por qué el $5x^3$ no llega a ser despreciable en comparación con el $x^6 $ plazo. Si así fuera, obtendría la misma respuesta para el Ej. 2 que para el Ej. 1.

¿Puede ayudarme a entenderlo? Por ahora, mi conclusión es que siempre hay que utilizar la matemática conjugada cuando se trata de raíces cuadradas.

Answer 1

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^6+5}-x^3)$ . Argumenté (para mis adentros) que como $x$ es muy grande, entonces el $5$ se vuelve despreciable.

Eso funciona con la división pero no con la resta, porque con la división el relativa tamaño del $5$ en comparación con el tamaño del denominador creciente va a $0.$ Tenga en cuenta que $$ \lim_{x\to\infty} \Big((x+5) - x \Big) \ne 0 $$ aunque el $5$ también es insignificante en comparación con $x+5$ o $x.$ \begin{align} & \sqrt{x^6+5} -x^3 \\[10pt] = {} & \frac 5 {\sqrt{x^6+5} + x^3} \to 0. \end{align} Es un ejemplo poco esclarecedor por lo que omite. Considere este ejemplo de aspecto similar: \begin{align} & \sqrt{x^6+5x^3} -x^3 \\[10pt] = {} & \frac {5x^3} {\sqrt{x^6+5x^3} + x^3} \\[10pt] = {} & \frac{5}{\sqrt{1 + \frac 5 {x^3}} + 1} \to \frac 5 2. \end{align} Este ejemplo demuestra que tu primer planteamiento era erróneo, ya que en este caso el límite no es $0.$

(Tenga en cuenta que si $x$ se había acercado $-\infty$ en lugar de $+\infty,$ entonces tendrías $\sqrt{x^6} = |x^3| = -x^3$ y entonces la respuesta sería muy distinta.