Transformación de variables en la distribución Beta de primer tipo

Question

Si $X$ y $Y$ siguen la distribución Beta, con parámetros $m$ y $n$ de primer orden y son variables aleatorias independientes. Entonces, ¿cuál es la distribución de $(X+Y)$ ? Tomé $U=X+Y$ y $V=Y$ Entonces obtuve el Jacobiano que es 1. He llegado hasta

$g \left( u,v \right) = \left( \frac{1}{B\left(m,n\right)} \right) \cdot \left(u-v\right)^{\left(m-1\right)} \cdot \left(1-u+v\right)^{\left( n-1\right) } \cdot (\frac{1}{B(m,n)}) \cdot v^{\left( m-1 \right)} \cdot \left( 1-v \right)^{\left(n-1\right)}$

¿Se puede simplificar más? Y sé que tenemos que integrar $g(u,v)$ por ejemplo $v$ para obtener el pdf de $u$ sólo. pero no entiendo cómo.

Answer 1

Creo que ya has hecho la mayor parte del trabajo. Voy a escribir detalles para mis propios ejercicios.

Para una distribución Beta con parámetro $m,n$

$f(x)=\frac{x^{m-1}(1-x)^{n-1}}{B(m,n)},x\in (0,1)\\ B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

Sea $U=X+Y$ y $V=Y$

Entonces $X=U-V$ y $Y=V$

$|J|=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& -1\\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1$

Desde $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes con $Beta$ distribución,

$\therefore f(x,y)=\frac{x^{m-1}(1-x)^{n-1}}{B(m,n)}\frac{y^{m-1}(1-y)^{n-1}}{B(m,n)}$

$\therefore g(u,v)=\frac{(u-v)^{m-1}(1-u+v)^{n-1}}{B(m,n)}\frac{v^{m-1}(1-v)^{n-1}}{B(m,n)}$

Esto es exactamente igual a lo que tienes.

Lo siguiente es integrar $v$ entonces obtendremos el pdf de $u$ entonces obtendremos la distribución de $X+Y$ .

$$g(u)=\int_0^1g(u,v)dv=\int_0^1 \frac{(u-v)^{m-1}(1-u+v)^{n-1}}{B(m,n)}\frac{v^{m-1}(1-v)^{n-1}}{B(m,n)}dv\\=\frac{1}{B^2(m,n)}\int_0^1 (u-v)^{m-1}(1-u+v)^{n-1}v^{m-1}(1-v)^{n-1}dv\\=\frac{1}{B^2(m,n)}\int_0^1 [(u-v)v]^{m-1}[(1-u+v)(1-v)]^{n-1}dv$$

Ok, tengo que parar aquí. Sólo encontrar una solución a esta distribución.

Manual de distribución beta y sus aplicaciones véase la página 70.