Así que sabemos que $$w R z \iff \operatorname{Re}(w)-\operatorname{Re}(z)=k, \quad \operatorname{Im}(w)-\operatorname{Im}(z) = l \sqrt{2}$$
para algunos números enteros $k,l \in \mathbb{Z}$ . Esto se puede reescribir como $$w R z \iff \operatorname{Re}(w)-\operatorname{Re}(z) \in \mathbb{Z}, \quad \operatorname{Im}(w)-\operatorname{Im}(z) \in \sqrt{2} \mathbb{Z}$$
Consolidando todo esto en una sola expresión, tenemos que \begin{align*} w R z & \iff w - z \in \mathbb{Z} + \sqrt{2} i \mathbb{Z} \\ \Rightarrow w R z & \iff w \in \mathbb{Z} + \sqrt{2} i \mathbb{Z} + z \\ \Rightarrow [z] & = \mathbb{Z} + \sqrt{2} i \mathbb{Z} + z . \end{align*}
Visualmente, esto significa que de la misma manera $\mathbb{Z}^{2}$ hace una "rejilla" (más específicamente un enrejado, ya que no tienes los lados del rectángulo, sólo los vértices) de $\mathbb{R}^{2}$ cada una de estas clases de equivalencia forma una rejilla del plano complejo, donde cada clase de equivalencia es una rejilla que forma rectángulos de longitud $1$ a lo largo del eje real, y la longitud $\sqrt{2}$ a lo largo del eje imaginario. En otras palabras, se puede hacer la clase de equivalencia $[z]$ empezando en $z$ cuadriculando el plano con $1 \times \sqrt{2}$ rectángulos (tales que $z$ es un vértice de uno de estos rectángulos), y luego mantener sólo los vértices de los rectángulos.
EDIT: En caso de que no estés familiarizado, cuando se dan conjuntos $A, B$ definimos $A + B : = \{ a + b : a \in A, b \in B \}$ . Del mismo modo, definimos $A + b : = \{ a + b : a \in A \}$ .
