¿Lo que ' s la media de todos los números reales?

Question

Al principio, había pensado que el promedio debe ser igual a cero, ya que para cada número positivo hay una igual magnitud número negativo para cancelar el número positivo efecto en la media, dejando sólo el cero para establecer el promedio.

Pero usted puede hacer un argumento similar sobre cualquier número, por ejemplo el uso de una elección arbitraria de 9, para cada número x de unidades mayor que 9, hay otro número x de unidades de menos de 9, lo cual haría de 9 de la media. Pero desde que me podría haber elegido cualquier número aquí en lugar de 9, eso significaría que todos y cada número es el promedio de todos los números reales.

Así que, ¿cuál es la media de todos los números reales?

Answer 1

Es indefinido.

La media de un finito colección de números de $a_1, ... a_n$ es su valor esperado cuando se considera como una variable aleatoria en el espacio muestral de $\{ 1, 2, ... n \}$, dada la distribución uniforme, donde cada número se presenta con probabilidad de $\frac{1}{n}$. Para definir la media de una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (tales como la identidad de la función $f(x) = x$, que es este ejemplo), usted tiene que elegir una distribución de probabilidad en $\mathbb{R}$. No tiene un análogo de la distribución uniforme, así como destaca la pregunta es underspecified.

Una pregunta relacionada, pero que requiere un poco menos detalles técnicos para responder, es: "¿cuál es la media de todos los números enteros?" La respuesta es de nuevo que este es indefinido, y la razón es porque no es un análogo de la distribución uniforme en $\mathbb{Z}$.

(La distribución uniforme sobre un conjunto finito es especial, porque es el máximo de entropía de la distribución, pero $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{R}$ no tener el máximo de entropía de la distribución. Sin embargo, la máxima entropía disributions todavía puede existir con suficientes condiciones adicionales.)

Answer 2

Como se comprobó por sí mismo, no puede ser no bien definida de la media de los números reales. Otra forma de pensar sería pensar en la media de un intervalo cerrado $[a,b]$ como: $$\mu_{[a,b]}=\int_{a}^{b} \frac{x}{b} dx$$ Para ampliar esta para todos los números reales, usted tendría que tomar $a\a\infty$, $b\to \infty$. Usted puede estar tentado a escribir a la media como: $$\mu_\mathbb{R}=\lim_{M\to\infty}\int_ {M}^M \frac{x}{2M} dx =0$$, pero ya nadie se promete que $a$ y $b$ a $\infty$ a la misma tasa, debe escribir: $$\mu_\mathbb{R}=\lim_{N\to\infty}\lim_{M\to\infty}\int_ {M}^N \frac{x}{N+M} dx$$ Este es indefinido, debido al hecho de que el valor depende de su elección de la tarifa (a elegir $N=2M$ o $N=M$ a ver que).