Demostrar que el proceso estocástico no puede tener trayectorias continuas.

Question

Este problema es sobre procesos estocásticos, pero en lo que realmente necesito ayuda es en usar el teorema de convergencia dominada al final:

Lo que necesito demostrar es que un proceso estocástico que tiene estas propiedades no pueden tener trayectorias continuas:

1. $t_1\ne t_2 \rightarrow W_{t_1}, W_{t_2}$ independiente.

2. El proceso es estacionario.

3. $E[W_t]= 0, \forall t$

La pista para el ejercicio es:

Considere $E[(W_t^{(N)}-W_s^{(N)})^2]$ donde:

$$W_t^{(N)}=(-N)\vee(N\wedge W_t)$$

Por lo que tengo entendido, esto significa que el proceso modificado es $-N$ si el proceso original es menor que $-N$ es igual al proceso original, si el proceso original está entre $-N$ y $N$ y es $N$ si el proceso original es mayor que $N$ . Básicamente acotamos el valor absoluto.

Ahora intentaré resolver el ejercicio por contradicción.

Obtenemos $E[(W_t^{(N)}-W_s^{(N)})^2]=2E[(W_t^{(N)})^2]$ ya que el valor esperado de cada uno es 0, y son independientes. Pero $W_t^{(N)}$ es 0 si $W_t$ es 0, por lo que $E[(W_t^{(N)})^2]$ no puede ser 0, porque entonces $W_t$ sería 0 a.s. y entonces sólo tendríamos un proceso trivial.

Obsérvese que la estacionariedad da que $E[(W_t^{(N)}-W_s^{N})^2]=2E[(W_t^{(N)})^2]$ debe ser constante sea cual sea s.

Ahora mira $E[(W_t^{(N)}-W_{t+1/N}^{(N)})^2]$ para $\omega$ fijo obtendremos que N es mayor que $W_t(\omega)$ en algún $N$ suponiendo por contradicción la continuidad de la trayectoria, ocurrirá en una vecindad alrededor de $W_t(\omega)$ la vecindad es si mantenemos $\omega$ fija, es una vecindad en el parámetro tiempo. Entonces la continuidad asumida da que obtenemos un límite puntual a $0$ .

Ahora, si pudiera mover el límite fuera de la integral. Obtendría una contradicción, porque entonces tendríamos que $E[(W_t^{(N)}-W_{t+1/N}^N)^2]\rightarrow 0$ . Pero antes hemos demostrado que se trata de un valor constante, que tiene que estar por encima de $0$ o el proceso es trivial.

¿Puede ayudarme a terminar la prueba? Necesito una función dominante para mover el límite fuera de la integral. Pero no veo cómo la $N$ límite nos ayuda, porque $N$ crece sin límites? ¿Algún consejo?

Answer 1

Ni siquiera hay un medible proceso que satisfaga sus condiciones 1., 2., 3.

Es decir, supongamos que $\Omega\times[0,1]\ni(t,\omega)\mapsto W_t(\omega)$ es $\mathcal F\otimes\mathcal B([0,1])$ -medible en algún espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F,\Bbb P)$ y satisface sus condiciones 1., 2. y 3. Además, trunque como lo haga, si es necesario, para reducir al caso en el que $|W_t(\omega)|\le C$ para alguna constante $C\in(0,\infty)$ . Por último, elimine el caso trivial suponiendo que $\Bbb E[W_t^2]>0$ .

Consideremos ahora la integral $I_T(\omega):=\int_0^T W_t(\omega)\,dt$ para $0<T\le 1$ que es una variable aleatoria debido al supuesto de mensurabilidad. Por Fubini, $$ \Bbb E[I_T^2]=\int_0^T\int_0^T\Bbb E[W_sW_t]\,ds\,dt =0, $$ porque $\Bbb E[W_sW_t]=0$ por 1. y 3. Así $I_T=0$ para cada $T$ . Pero $T\mapsto I_T(\omega)$ es una función absolutamente continua para cada $\omega$ por lo que diferenciando con respecto a $T$ e invocando a Fubini y la condición 2., obtenemos $W_t=0$ a.s., para cada $t$ violando el supuesto de no trivialidad.