Si $\alpha, \beta$ son ciclos s.t $\alpha^k(i)=\beta^k(i)$ entonces $\alpha=\beta$

Question

Si $\alpha, \beta$ son ciclos tales que existe $i$ que pasa por ambos (al igual que $\alpha(i)\neq i$ ) tal que $\alpha^k(i)=\beta^k(i)$ para todos $k>0$ entonces $\alpha=\beta$

deje $\alpha =(i_1,i_2,...,i_r), \beta=(j_1,j_2,...,j_s)$

$i_2=\alpha(i)=\beta(i)=j_2$

$i_3=\alpha^2(i)=\beta^2(i)=j_3$

Para todos $k$ : $i_{k+1}=\alpha^k(i)=b^k(i)=j_{k+1}$ Entonces $\alpha=\beta$

Parece que hay un punto sutil que no entiendo, tal vez un ejemplo me ayude a "digerir" la prueba

Answer 1

Por definición de ciclo, tanto $\alpha$ y $ \beta$ tienen una sola órbita de cardinalidad $>1$ y por tu condición sus restricciones a ello coinciden. Para los puntos fuera de la órbita, debe ser $i=\alpha(i)=\beta(i)$ . Así que $\alpha(i)=\beta(i)$ para todos $i$ 's.