Si $(A/I)^n$ $\cong$ $(A/I)^m$ como módulos, ¿por qué se deduce que $m=n$ ?

Question

Alguien me puede explicar por que si $(A/I)^n$ $\cong$ $(A/I)^m$ (isomorfos según los módulos) siendo I un ideal maximal y (por tanto $A/I$ es un campo) entonces m=n?

Answer 1

Para abundar en los comentarios:

Suponiendo $A$ es un anillo conmutativo con $1$ (si no es conmutativo, hay que preocuparse por $I$ siendo un ideal máximo de dos lados) entonces $A/I = k$ un campo, y para $n \neq m$ , $k^n \not\simeq k^m$ (esto es sencillo de demostrar en términos de espacios vectoriales), por lo que si $k^n \simeq k^m$ entonces $n = m$ según sea necesario.

Para ver $k^n\not\simeq k^m$ para $m\neq n$ Obsérvese que un isomorfismo de espacios vectoriales lleva una base a otra base. Cualquier base de $k^n$ tiene $n$ y lo mismo para $k^m$ por lo que si $n\neq m$ no puede existir una biyección entre conjuntos de $n$ elementos y $m$ elementos. Los isomorfismos son biyecciones. QED.