Categorías con productos que conservan cocientes

Question

Es bien sabido que en la categoría de todos los espacios topológicos, los mapas cociente no se conservan por productos (esto se deduce del hecho más simple de que $X\times (-):Top\to Top$ no conserva los cocientes). La solución habitual, si se necesita, es cambiar a la categoría de k-espacios y k-mapas continuos. Hay otras categorías en las que los productos y los cocientes "se llevan bien" (p. ej. $Set$ , $Ab$ ).

Pregunta 1: ¿Cuál es una gran clase de categorías en las que los mapas cociente se conservan por productos? ¿Topoi? ¿Categorías (semi)abelianas? ¿Categorías de álgebras para una mónada en una categoría dada con esta propiedad?

Ahora uno puede estar interesado sólo en una cierta clase de mapas cociente (como las sumersiones suryectivas en $Diff$ la categoría de las variedades lisas de dimensión finita). Digamos, epimorfismos regulares, o mapas que admiten secciones locales (suponiendo que estamos en un sitio), o tal vez algo así como sumersiones topológicas suryectivas, donde hay secciones a través de cada punto en el dominio. Así que en este caso no se trata de poner restricciones a $X$ tal que $X\times(-)$ preserva los cocientes, o cambiando la categoría, pero reduciendo el alcance de los mapas cocientes que uno quiere preservar.

Pregunta 2: ¿Existe una gran clase de mapas cociente (en $Top$ o en una categoría general - con productos finitos y suficientes colímitos) que son conservados por los productos?

Answer 1

Nota: He editado más esta respuesta porque antes estaba siendo tonta (innecesariamente restrictiva).

Supongo que se refiere a las categorías $E$ para lo cual $- \times -: E \times E \to E$ preserva los cocientes. La palabra "cociente" puede ser un poco ambigua, porque a veces la gente la utiliza con el significado de "coigualador", y a veces simplemente "epi" (como en "objeto cociente"), pero entiendo que te refieres a "coigualador".

Una clase razonablemente grande serían las categorías regulares, que incluyen categorías de álgebras de mónadas sobre $Set$ y categorías y topos semabelianos. Aquí los cocientes = epis regulares son estables bajo pullback y en particular son cerrados bajo la toma de productos a ambos lados. Además, en una categoría regular, todo cociente es un reflexivo coequalizer, es decir, coequalizador de un par $f, g: X \to Y$ para el que existe $h: Y \to X$ con $f \circ h = g \circ h = 1_Y$ . En particular, las dos proyecciones $\pi_1, \pi_2: E \to Y$ de una relación de equivalencia $E$ en $X$ por ejemplo el par núcleo de un cociente, forman un par reflexivo por la propiedad de reflexividad. Así pues, en una categoría regular, donde cocientes = coigualadores son necesariamente coigualadores de sus pares del núcleo, los cocientes son cocientes de pares reflexivos.

La razón por la que la reflexividad es relevante es una $3 \times 3$ lema que dice que en un diagrama (edit: conmutativo-en-paralelo) de $3 \times 3$ objetos en los que todas las filas y todas las columnas son diagramas coigualadores de pares reflexivos, la diagonal es un diagrama coigualador. Véase la primera página de Johnstone's Topos Theory. A continuación, apliquemos este lema al diagrama evidente cuyas filas son de la forma

$$X_i \times X_{1}' \stackrel{\to}{\to} X_i \times X_{2}' \to X_i \times X_{3}'$$

y cuyas columnas son de la forma

$$X_1 \times X_{j}' \stackrel{\to}{\to} X_2 \times X_{j}' \to X_3 \times X_{j}'$$

En la categoría $Top$ Por lo tanto, sería natural considerar los cocientes por relaciones de equivalencia (o incluso sólo relaciones reflexivas) que se conservan tomando productos en cada lado. Es esta última condición la que hay que caracterizar (o al menos discutir más a fondo), y puede que vuelva a ello más tarde, después de llevar a los niños al colegio. :-)

Edición: Para una discusión de cocientes topológicos que son estables bajo la toma de un producto en ambos lados, véase el artículo de Day y Kelly, On topological quotient maps preserved by pullback or product, Math. Proc. Cam. Phil. Soc. 67 (1970), 553-558. O busque en Google mapas de Day-Kelly para obtener más información.