Hay muchas preguntas en este sitio que plantean si la expansión del espacio podría interpretarse, en cambio, como una velocidad de la luz que cambia con el tiempo, por ejemplo:
¿Ha cambiado la velocidad de la luz con el tiempo?
¿El espacio se expande o la luz se ralentiza?
$c$ ralentización en lugar de expansión del universo?
¿Se expande el universo a un ritmo cada vez mayor o se ralentiza el tiempo o se $c$ ¿cambiando?
¿Por qué la velocidad de la luz en el vacío permanece constante en el espacio y en el tiempo?
Pero todas son bastante vagas y, por tanto, difíciles de responder con precisión. Yo tengo una versión más precisa de esta pregunta.
Q1. La métrica de Minkowski es
$$ds^2 = -c_0^2 dt^2 + (d{\bf x})^2, \tag{1}$$
donde $c_0$ es la velocidad de la luz y $(d{\bf x})^2$ representa la métrica euclidiana ordinaria en $\mathbb{R}^3$ . Me parece que la generalización más simple de esta métrica que tiene lo que razonablemente podría llamarse una "velocidad variable de la luz" es simplemente la métrica
$$ds^2 = -c(t)^2 dt^2 + (d{\bf x})^2, \qquad c:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \tag{2}$$ que elige un corte preferido del espaciotiempo.
Esta métrica es conformemente equivalente a la métrica FRW
$$ds^2 = -c_0^2 dt^2 + a(t)^2 d{\bf x}^2 \tag{3}$$
si dejamos que $a(t) = c_0/c(t)$ con las dos métricas (2) y (3) relacionadas por el factor conforme $\Omega(x) = a(t)$ .
¿Son estas dos métricas realmente isométricas (o "difeomórficas" en la terminología habitual de los físicos) además de simplemente conformes? Si no es así, ¿qué experimento podría realizar para distinguirlas?
Q2. (Más suave y subjetivo.) La métrica de Minkowski (1) puede escribirse de forma casi completamente equivalente como
$$-d\tau^2 = -dt^2 + d{\bf x}^2/c_0^2, \tag{4}$$ que simplemente reformula (1) para centrarse más en los desplazamientos temporales que en los espaciales. Partiendo de esta formulación, la generalización natural a una velocidad de la luz variable en el tiempo es $$-d\tau^2 = -dt^2 + d{\bf x}^2/c(t)^2. \tag{5}$$ En otras palabras, si dividimos la métrica por la constante $c_0^2$ (que es una operación completamente trivial) antes de la promovemos a una función variable, entonces obtenemos una métrica exactamente proporcional (no sólo conforme) a la métrica FRW (3). Para mí, esto es una prueba muy poco convincente de que las métricas (2) y (3) pueden ser físicamente equivalentes, ya que (1) y (4) parecen puntos de partida físicamente equivalentes. Si las métricas (2) y (3) no son físicamente equivalentes, entonces ¿hay alguna razón para pensar que cualquiera de ellas es más natural para considerarla como "espacio de Minkowski con velocidad de la luz variable en el tiempo"? ¿Cuál y por qué?
Para ambas preguntas, asumo que no ocurre nada cualitativamente nuevo si generalizamos la métrica euclidiana $d{\bf x}^3$ a una métrica riemanniana independiente del tiempo más general, pero no dude en comentarlo si está equivocado.
Por cierto, no estoy seguro de estar de acuerdo con las respuestas a algunas de las preguntas enlazadas. Señalan correctamente que sólo las relaciones adimensionales tienen significado físico por lo que la escala absoluta (dimensional) de la velocidad de la luz no tiene sentido físico en especial relatividad. Dos universos descritos por la relatividad especial en Minkowski espacio con diferentes velocidades (finitas) de la luz serían físicamente equivalentes siempre que todas las relaciones adimensionales del Modelo Estándar fueran iguales.
Pero no creo que ese argumento se aplique a un universo en expansión en un espaciotiempo curvo, porque la función adimensional $c(t)/c_0$ (donde $c_0$ es ahora una constante de referencia) nos da un continuo de números adimensionales físicamente medibles. No voy a entrar en el debate filosófico sobre si la métrica (2) describe "realmente" un universo con una velocidad de la luz que varía con el tiempo; sólo voy a plantear que se podría pensar razonablemente de esa manera (sin sugerir que esa es la única manera razonable de pensar en ello).
