Dada una serie de potencias: $$\lim_{N\to\infty}\sum_{k=0}^N A_k (z-a)^k$$ Amplío los poderes: $$\lim_{N\to\infty}\sum_{l=0}^N(\sum_{k=l}^N A_k \binom{k}{l}(-1)^{k-l}a^{k-l})z^l$$ Pero aquí me encuentro con el problema de que ahora los coeficientes dependen del límite, por lo que no puedo aplicar directamente el criterio de la raíz. Podría tomar primero el límite de los coeficientes y luego aplicar el criterio de la raíz. Pero eso correspondería a un doble límite. ¿Cómo puedo resolver este problema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Escribir tu serie con un límite es un poco confuso. Sin embargo, aparte de eso, a continuación, formular una límite de las sumas parciales de las sumas parciales desplazadas que no es un expansión en serie de potencias desplazada para la función original (aunque parece que el límite existe y es igual a tu función). En general, tomar una suma parcial y reescribirla para que coincida con otro "centro" puede no producir necesariamente una suma parcial para ese otro centro.
No creo que esto sea lo que pretendías. Seamos claros nombrando las cosas, $$f(z)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n A_k (z-a)^k.$$ Esta función, $f$ se denomina serie centrada en $a$ . Por el teorema de Taylor $A_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ son los coeficientes de la serie. Para reubicar el centro de la serie, habría que recalcular los coeficientes de la serie, por ejemplo, reescribamos $f$ para que esté centrado en cero, $$f(z)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}z^k.$$ Si quieres utilizar tu primera representación para calcular los coeficientes de la segunda representación, entonces tendrías lo siguiente, $$f(z)=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left(\left.\frac{d^k}{dz^k}\left(\lim_{m\to\infty}\sum_{j=0}^m A_j (z-a)^j\right) \right|_{z=0}\right) z^k. $$ Lo que da, $$f(z)=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left( \lim_{m\to\infty}\sum_{j=0}^m k!\binom{j}{k} A_j (-a)^{j-k}\right) z^k $$ $$=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \left( \lim_{m\to\infty}\sum_{j=0}^m \binom{j}{k} A_j (-a)^{j-k}\right) z^k. $$ Lo que has escrito es una versión ampliada de una de las sumas parciales de la serie original. Sin embargo, eso no es igual a las sumas parciales de una serie de potencias recentrada. Creo que querías la fórmula con dos límites de todos modos, por lo tanto creo que tu problema está resuelto.
Espero que esto tenga sentido.
