Con algunos compañeros de clase estamos estudiando la conjetura de Poincaré de la obra de Tao Legados de Poincaré . En sección 3.6 demuestra el siguiente lema:
$\mathbf{Lemma~ 3.6.2}$ Sea $M$ sea un 3manifold conectado no vacío compacto. Entonces no es posible que $\pi_{1}(M), \pi_{2}(M)$ y $\pi_{3}(M)$ ser simultáneamente trivial.
Utilizó la siguiente versión del teorema de Hureciwz:
$\mathbf{Proposition~ 3.6.3}$ (Teorema del bebé Hurewicz). Sea $M$ sea una variedad compacta triangulada conexa tal que los grupos fundamentales $\pi_{1}(M),\ldots,\pi_{k}(M)$ todos desaparecen para algunos $k \geq 1$ . Entonces $M$ tiene trivial $j^{\mathrm{th}}$ grupo homológico $H_{j}(M)$ para cada $1 \leq j \leq k$ .
A continuación, demuestra el lema 3.6.2 de la siguiente manera
Supongamos por contradicción que tenemos una 3manifold compacta conectada no vacía $M$ con $\pi_{1}(M)$ , $\pi_{2}(M)$ y $\pi_{3}(M)$ todo trivial. Dado que $M$ es simplemente conexo, es orientable (como todos los bucles son contractibles, no puede haber ningún obstáculo para extender una orientación en algún punto al resto del colector). Además, es un resultado clásico de Moise que todo 3-manifold puede ser triangulado. Utilizando una orientación coherente en $M$ Por lo tanto, podemos construir un $3-$ en ciclo $M$ consistente en la suma de orientados $3-$ símplices con interiores disjuntos que cubren $M$ (es decir, un $fundamental~class$ ), por lo que la multiplicidad neta de este ciclo en cualquier punto es impar. Por otra parte, la multiplicidad neta de cualquier ciclo $3-$ límite en cualquier punto puede verse que necesariamente es par. Así pues, hemos encontrado un $3-$ ciclo que no es un $3-$ lo que contradice la proposición 3.6.3.
El problema aquí es que yo y mi compañero de clase no conocemos la teoría de la homología (singular), por lo que es un poco difícil entender algunos pasos:
- En primer lugar, no sabemos cuál es el $net~multiplicity$ que utilizó. Buscamos en internet la definición pero no la encontramos.
- ¿Cómo podemos tener una $3-$ límite en un $3-$ ¿Múltiple? Es decir, un $3-$ límite es un límite de un $4-$ cadena, y cómo podemos tener una $4-$ cadena en un $3-$ ¿Múltiple? (el problema está en las dimensiones).
¿Puede ayudarnos con esto?
Por otro lado, con un amigo encontramos (pensamos que encontramos) una demostración del lema 3.6.2. pero cuando $M$ no tiene límites:
Supongamos por contradicción que $M^{3}$ es conexo no vacío y que $\pi_{j}(M)=0$ para $1\leq j \leq 3$ . Por el recurso de Moise que utilizó Tao, $M$ se puede triangular. Entonces por el teorema de Baby Hurewicz, $H_{j}(M)=0$ para $1 \leq j \leq 3$ . Además, tenemos que $H_{j}(M)=0$ para todos $j>3$ porque $M$ tiene dimensión $3$ . Si algún grupo homotópico no es trivial, por (¿un corolario de?) Hurewicz tenemos que para el primer índice $i$ cuando $\pi_{i}(M) \neq 0$ (observe que $i>3$ ), tendremos que $\pi_{i}(M)\cong H_{i}(M)=0$ que es una contradicción. Así que tendremos que $\pi_{j}(M)=0$ para todos $j\geq 1$ . Ahora bien, esto implica que $M$ tienen el mismo tipo de cohomología de un punto (Aquí mi amigo dice que hay un teorema que dice que si tenemos el vanish de los grupos de homotopía, entonces $M$ es débilmente homotópica equivalente a un punto, y este hecho implica lo que he escrito más arriba). En particular, tenemos que $H^{3}(M)=0$ . Ahora, como $M$ está simplemente conectado (recuerde que $\pi_{1}(M)=0$ ), $M$ es orientable, por lo que tenemos un $3-$ forma que no desaparece en ninguna parte, de hecho, tenemos una forma de volumen, llamémosla $\omega$ . Ahora bien, está claro que $\omega$ está cerrado porque $d\omega$ es un $4-$ forma en un $3-$ colector, por lo que debe ser cero. Por otra parte, si $\omega$ es exacta, es decir, que existe un $2-$ formulario $\tau$ tal que $\omega=d\tau$ utilizando el teorema de Stokes y la hipótesis adicional de que $\partial M=\emptyset$ obtenemos que $$0<\int_{M} \omega=\int_{M}d\tau=\int_{\partial M}\tau=0,$$ así que $\omega$ no puede ser exacta. Entonces, $\omega \in H^{3}(M)\setminus \{0\}$ que es una contradicción, y por lo tanto deberíamos tener que $M=\emptyset$ .
PD: Pido disculpas por mi pobre inglés.
$\mathbf{Edit}$ (3^{rd} de septiembre): En una nota a pie de página en la página 358 (página 370 del pdf) de Legados de Poincaré, Tao dice que "A menos que se indique lo contrario, se supone que todas las variedades no tienen límites", por lo que la prueba que damos debería funcionar.
