Referencia moderna para subgrupos conexos maximales de grupos Lie compactos

Question

¿Cuál es el mejor lugar para ver una lista de los subgrupos conexos máximos de grupos de Lie compactos? ¿Hay algo en línea?

He mirado la charla Bourbaki de Tits sobre el trabajo de Dynkin y otros, pero admite al principio que la teoría lleva a tablas enormes, que no va a incluir. Ese es el tipo de cosas que me gustaría ver.

Answer 1

Supongo que te refieres a la charla del seminario #119 de Tits Bourbaki aquí en los años 50 sobre subálgebras de álgebras de Lie semisimples (que traduce la pregunta original sobre grupos de Lie compactos)? Se puede acceder libremente a él en línea, pero probablemente no a los artículos anteriores de Dynkin (aunque la AMS los publicó hace tiempo en volúmenes traducidos). Al parecer, las tablas de Dynkin contenían algunos errores, como a menudo ocurre con las tablas, pero existe una útil colección AMS/IP aquí con correcciones y comentarios, que puede ser la mejor fuente actual para conocer la historia completa.

Sospecho que ha habido demasiado poco incentivo para que alguien reelabore y publique todos los argumentos y tablas de Dynkin, pero Gary Seitz (junto con Martin Liebeck) publicó una serie de largos artículos generalizando este trabajo al entorno de los grupos algebraicos semisimples (dando muchos detalles en un estilo moderno).

AÑADIDO: Hay dos importantes (y largos) artículos de Dynkin de 1952, publicados por la AMS en la Serie 2, Volumen 6 de su serie de traducciones (1957), páginas 111-378: Subálgebras semisimples de álgebras de Lie semisimples y Subgrupos máximos de los grupos clásicos . Los documentos contienen muchas tablas y están relacionados entre sí, tal y como comentó Tits en su charla sobre Bourbaki. Los principales resultados son recuperados por Seitz (y Liebeck) en sus extensos trabajos AMS Memoir (como el nº 365 de 1987) sobre subgrupos maximales de grupos algebraicos semisimples. Pero se trata de un marco más elaborado, que entra también en la característica primera.

Para aplicar los resultados de Dynkin a grupos de Lie compactos hay que utilizar el enfoque de Weyl: complejizar el álgebra de Lie o, a la inversa, tomar una forma real compacta de un álgebra de Lie compleja. Puesto que un grupo compacto conexo es semisimple (o trivial) módulo a su centro y éste se encuentra en un toro, el caso semisimple es crucial para los problemas de subgrupos maximales. Las subálgebras maximales relevantes de un álgebra de Lie compleja asociada son entonces semisimples. Por desgracia, los grupos compactos no parecen tratarse explícitamente en la bibliografía (sería útil una exposición con algunos grupos de bajo rango como ejemplo). Pero estudiar directamente la estructura de grupo es demasiado difícil, así que la tecnología de álgebras de Lie sobre $\mathbb{C}$ es lo más natural aquí, incluyendo algo de teoría de la representación de dimensión finita.