¿Se pueden clasificar las clases/personajes de Chern?

Question

El carácter de Chern envía la clase de una gavilla localmente libre al anillo de cohomología de la variedad subyacente X. Y es un homomorfismo de anillo de K a H^*. He visto a gente escribir su origen también como la categoría derivada acotada, lo que tiene sentido si la variedad subyacente es suave (enviando un complejo acotado a la "suma" alterna de los caracteres de Chern de su gavilla de cohomología).

Mi pregunta es, si quiero pensar $D^b(X)$ como una cierta categorización de $K_0(X)$ ¿es posible categorizar el mapa de caracteres chern? ¿Cuál será un buen candidato de la categoría objetivo? (¿O existe alguna heurística que demuestre que esto no es probable?)

Answer 1

Hay análogos categorizados del carácter de Chern, pero no pienso en ellos de la forma que propones. Más concretamente, puedes tomar un objeto en la categoría derivada y asignarle una clase en cohomología, y este mapa factoriza a través de la teoría-K, así que las dos construcciones que estás discutiendo me parecen lo mismo.

Una forma de pensar en el carácter de Chern es la siguiente. Dado cualquier asociativo, dg o $A_\infty$ se puede definir su homología de Hochschild. Este es el recipiente para un mapa de trazas universal del álgebra, y más generalmente para cualquier módulo "finito" (complejo perfecto) se obtiene una clase (su carácter) en la homología de Hochschild. Dado de forma más general un (dg o $A_\infty$ ) se puede definir de forma similar su homología de Hochschild y un mapa de caracteres para objetos "finitos" (que factoriza a través de la K-teoría de la categoría), lo que concuerda con lo anterior cuando tu categoría es módulos sobre un álgebra (lo que suele ser, no canónicamente).

Para "categorizar" se puede sustituir un álgebra por un objeto álgebra asociativa en cualquier monoidal simétrica $\infty$ -categoría. Su homología de Hochschild se define como un objeto de dicha categoría y de nuevo hay un mapa de caracteres de Chern para módulos "finitos". ¿Por qué es esto una categorización? Por ejemplo, puede tomar su álgebra asociativa para ser alguna categoría derivada de poleas con una estructura monoidal (por ejemplo, poleas coherentes o $\mathcal{D}$ -con producto tensor o algún producto de convolución), y entonces su homología de Hochschild es ella misma una categoría. Así, las categorías de módulos tendrán caracteres de Chern que son objetos de esta categoría homológica. Esta es (una manera de pensar en) la noción de una "en teoría de la representación (donde nuestra álgebra asociativa son láminas sobre un grupo con convolución, y las categorías de módulos son categorías con una buena acción del grupo, y sus caracteres de Chern son láminas adyacentes-equivariantes sobre el grupo, es decir, funciones de clase categorizadas).

(Esta historia es por cierto un caso especial de la Hipótesis del Cobordismo con Singularidades de Jacob Lurie -- de hecho sólo de su caso unidimensional.. nuestros objetos de álgebra se asignan a un punto, su homología de Hochschild se asigna al círculo, los módulos son "singularidades" permitidas en la teoría y su carácter de Chern se adjunta a un círculo con un "punto singular" marcado)

Answer 2

El periódico http://arxiv.org/abs/0804.1274 de Toën-Vezzosi consiste en categorizar el carácter Chern. Permítanme intentar resumir su estrategia.

En primer lugar, introducen un $2$ -categoría $Dg(X)$ de láminas categóricas derivadas en un esquema (derivado) $X$ . Se basa en la idea de que una categorización de la teoría de módulos sobre un anillo conmutativo $k$ viene dada por $k$ -categorías lineales: argumentan que las categorías dg pueden utilizarse para categorizar el álgebra homológica de un modo similar pero mejor (mejor en el sentido de que la configuración no dg parece demasiado rígida para permitir avances).

El segundo paso consiste en utilizar, para un esquema (derivado) dado $X$ el retroceso a lo largo de la proyección $LX\to X$ . Para una gavilla categórica $F$ en $X$ en considerar su retroceso $p^*F$ que naturalmente vienen equipadas con una autoequivalencia $u$ . La idea aproximada para ver esto es considerar el pull-back (a-k-a >transgresión) a lo largo del mapa de evaluación $S^1\times LX\to X$ y luego observar que las laminillas categóricas sobre $S^1\times LX$ son tramas categóricas sobre $LX$ junto con un $\mathbb{Z}$ -acción.

Por último, conjeturan la existencia de un $S^1$ -traza equivariante $Tr^{S^1}(u)\in D^{S^1}(LX)$ . Su $K_0$ sería un candidato para el carácter de Chern (categorizado) de $F$ .

¿Por qué esto categoriza el carácter de Chern?

Si hacemos la misma construcción partiendo de una gavilla de $X$ entonces obtenemos al final un elemento en $\pi_0(\mathcal O_{LX}^{S^1})=HC_0^{-}(X)$ (mientras que el no $S^1$ -La traza invariante toma valores en $\pi_0(\mathcal O_{LX})=HH_0(X)$ ).

Se puede demostrar que esto construye el carácter de Chern habitual. La principal dificultad es la existencia (conjetural) del carácter $S^1$ -invariante.

Seguimiento

Un tratamiento completo de este enfoque (junto con una demostración de la conjetura) ha sido realizado por los autores mencionados en un largo documento en francés .