La red de ideales aniquiladores de un anillo

Question

La pregunta es sobre un ejercicio del libro "Lattice-ordered rings and modules" de Stuart A. Steingberg. Se trata del ejercicio 7 del capítulo 1, sección 2.

Sea $R$ un anillo sin ideales nilpotentes no nulos (equivalentemente, sin ideales unilaterales nilpotentes no nulos). Para cada ideal $A$ de $R$ , dejemos que $A'=\{x\in R:xA=0\}=\{x\in R:Ax=0\}$ sea su aniquilador, y sea $\mathrm{Ann}(R)$ sea el conjunto de ideales aniquiladores de $R$ . Demuestre que $(\mathrm{Ann}(R),\subseteq,')$ es un álgebra booleana completa.

No entiendo por qué, en un anillo sin ideales nilpotentes no nulos, todo ideal nilpotente unilateral es cero, y los aniquiladores izquierdo y derecho de un ideal son iguales.

Answer 1

(1) Si $R$ tiene un ideal izquierdo no nulo que es nilpotente, entonces tiene uno que satisface $L^2=0$ .
(2) Si $L$ es un ideal izquierdo no nulo de $R$ satisfaciendo $L^2=0$ entonces $N=\sum_{r\in R} Lr$ es distinto de cero a $2$ -que satisface $N^2=0$ . (Esto sólo utiliza $LrLs\subseteq LLs\subseteq 0s=0$ .)
(3) Si $A$ es un ideal, entonces $A'=\{x\in A\;|\;xA=0\}$ también es un ideal, y para cualquier $x\in A'$ el conjunto $Ax$ es un ideal de la izquierda cuadrado a cero. Si $R$ no tiene ideales nilpotentes no nulos, entonces por (2) tenemos $Ax=0$ . Es decir, $xA=0$ implica $Ax=0$ .

Answer 2

Una descripción algo diferente:

por qué, en un anillo sin ideales nilpotentes no nulos, todo ideal nilpotente unilateral es cero,

Se puede demostrar que un anillo no tiene ideales nilpotentes no nulos si $aRa=\{0\}$ implica $a=0$ .

Supongamos que $a$ pertenece a un ideal de la izquierda que es cuadrado a cero: entonces $aRa\subseteq RaRa = \{0\}$ lo que implica $a=0$ .

Ahora observa que estas dos condiciones son iguales: a) $R$ no tiene ideales izquierdos nilpotentes no nulos; b) $R$ no tiene ideales izquierdos distintos de cero elevados al cuadrado.

La prueba es la misma que si estuvieras probando " $R$ no tiene elementos nilpotentes no nulos si no tiene elementos elevados al cuadrado cero".

los aniquiladores izquierdo y derecho de un ideal son iguales.

Observe que $I\ell(I)$ es un ideal cuadrado a cero, por lo que es necesariamente cero. Por lo anterior, $I\ell(I)=\{0\}$ para que $\ell(I)\subseteq r(I)$ . Por un argumento simétrico, se demuestra la otra contención y tenemos la igualdad.