¿Cómo calcular la raíz cuadrada de un número?

Question

Buscando he encontrado pocos métodos pero todos ellos implican adivinando que no es lo que quiero.

Necesito saber cómo calcular la raíz cuadrada mediante una fórmula o algo así. En otras palabras, ¿cómo calcula la calculadora la raíz cuadrada?

Answer 1

Hay un algoritmo que no está nada mal, y es estable. No implica adivinar, pero necesitas un punto de partida. Para ilustrar el algoritmo, supongamos que queremos encontrar $\sqrt{2}$ . Empieza con cualquier cosa (cuanto más cerca, mejor); por ejemplo, empieza con $1$ . Porque $1 < \sqrt{2}$ entonces $2/1=2 > \sqrt{2}$ . Haz la media para obtener $1.5$ . $1.5$ es demasiado grande, lo que significa que $2/1.5=4/3=1.3333\cdots$ será menor que $\sqrt{2}$ . Haga la media de estos dos para obtener $\frac{1}{2}(3/2+4/3)=\frac{1}{2}\frac{17}{6}=\frac{17}{12}=1.416666\cdots$ . Este valor es demasiado pequeño, y $2/(17/12)=\frac{24}{17}$ es demasiado grande. Así que promediar estos para obtener $$ \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12}+\frac{24}{17}\right)=\frac{577}{408}=1.4142156862\cdots $$ Esto ya tiene una precisión de 6 decimales. Repitiendo este proceso se obtiene rápidamente una buena aproximación de $\sqrt{2}$ . Una iteración más da $$ \frac{1}{2}\left(\frac{577}{408}+2\frac{408}{577}\right) =\frac{665857}{470832}=1.4142135623747\cdots, $$ que tiene una precisión de unos 12 dígitos. El valor inicial de $1$ no era tan bueno, pero aún así no se necesitaron muchas iteraciones para obtener un buen valor de $\sqrt{2}$ .

Answer 2

Un método para aproximar raíces es el Método de Newton, que utiliza una aproximación por línea tangente para acercarse al valor real de una raíz.

Dado que $f(x) \approx f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0)$ consideremos la función $f(x) = x^2 - 2$ . Claramente, esta cuadrática tiene raíz $\sqrt{2}$ . El objetivo es acercarse cada vez más a la intersección y de esta función (que es $\sqrt{2}$ ). Para ello tomamos la aproximación de la recta tangente de un valor de la curva $x^2 - 2$ (digamos, $1.5$ ) y encontrar dónde esa línea intercepta el eje y. A continuación, introducimos el intercepto y obtenemos un nuevo intercepto (más preciso).

_{(fuente: <a href="http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/NewtonsMethod_files/image001.gif" rel="nofollow noreferrer">lamar.edu </a>)}

Consulte Notas de Paul en línea para más información, o Wikipedia .

Pero para responder definitivamente a su pregunta, no. No hay manera de obtener el valor de un número irracional como $\sqrt{2}$ a través de una simple fórmula; casi requiere cálculo. :(

Answer 3

La forma más fácil de encontrar $\sqrt[n]{a}$ para números enteros $n$ y $a>0$ de forma eficiente es utilizar la aproximación Newton-Raphson para invertir la función $f : x \mapsto x^n - a$ . Pero hay que tener cuidado con la elección del punto de partida correcto, para que la iteración converja cuadráticamente. La convergencia cuadrática significa que en cada paso el error se convierte aproximadamente en una constante multiplicada por su cuadrado, lo que equivale a que el error es proporcional a $c^{2^k}$ después de $k$ pasos, para algunos $c \in (0,1)$

Sea $x_0$ sea tal que $x_0 \in \sqrt[n]{a}[1,1+\frac{1}{4n})$

Para cada natural $k$ de $0$ a $\infty$ :

  Sea $x_{k+1} = x_k - \dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \dfrac{{x_k}^n-a}{n{x_k}^{n-1}} = \dfrac{(n-1){x_k}^n-a}{n{x_k}^{n-1}}$

Entonces $( x_k : k \in \mathbb{N} )$ converge cuadráticamente a $\sqrt[n]{a}$ uniformemente para todos $a>0$

Caso general

Para cualquier función real $f$ tal que $f(r) = 0$ y $f' \ne 0$ y $f''$ existe y $\left|\frac{f''}{2f'(r)}\right| \le m$ para algunos $m$ :

  Sea $a = f'(r) \ne 0$

  Entonces $f(r+d) = a d + g(d) d^2$ para cualquier $d$ para alguna función $g$ tal que:

    $g(d) \in a [-m,m]$ para cualquier $d$

  También $f'(r+d) = a + h(d) d$ para cualquier $d$ para alguna función $h$ tal que:

    $h(d) \in a [-m,m]$ para cualquier $d$

  Sea $( x_k : k \in \mathbb{N} )$ sea tal que:

    $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ para cualquier $k$

    $|x_0-r| \le \frac{1}{6m}$

  Para cada natural $k$ de $0$ a $\infty$ :

    $x_k = r + d_k$ para algunos $d_k$

    $|d_k| \le |d_0| \le \frac{1}{6m}$ por invarianza

    $x_{k+1} = (r+d_k) - \dfrac{ad_k+g(d_k){d_k}^2}{a+h(d_k){d_k}} \in (r+d_k) - \dfrac{d_k+[-m,m]{d_k}^2}{1+[-m,m]{d_k}}$

    Así $d_{k+1} \in d_k - (d_k+[-m,m]{d_k}^2) (1-[-m,m]{d_k}+[0,2]([-m,m]{d_k})^2)$ porque:

      $\frac{1}{1+t} \in 1-t+[0,2]t^2$ para cualquier $t \ge -\frac{1}{2}$

    Así $d_{k+1} \in d_k - (d_k+[-m,m]{d_k}^2) (1+[-m,m]{d_k}+\frac{1}{3}[-m,m]d_k) \\ \quad \subseteq \frac{7}{3}[-m,m]{d_k}^2 + \frac{4}{3}[-m,m]^2{d_k}^3 \subseteq \frac{7}{3}[-m,m]{d_k}^2 + \frac{7}{18}[-m,m]{d_k}^2 \\ \quad \subset 3[-m,m]{d_k}^2 \subset [-1,1]d_k$

    Así se mantiene la invariancia

    También $3 m |d_{k+1}| < ( 3 m |d_k| )^2$

  Por lo tanto $3 m |d_k| < ( 3 m |d_0| )^{2^k} \le 2^{-2^k}$ para cualquier $k$

  Así $x_k \to r$ cuadráticamente como $k \to \infty$

Notas

En caso de encontrar $r = \sqrt[n]{a}$ la función $f : x \mapsto x^n - a$ tiene $\frac{f''}{2f'(r)}$ en $x \mapsto \frac{(n-1)x^{n-2}}{2r^{n-1}}$ que está limitada en $r[1,1+\frac{1}{4n})$ por $m = \frac{2n}{3r}$ porque $\frac{n}{2r} (\frac{x}{r})^{n-2} \le \frac{n}{2r} (1+\frac{1}{4n})^n < \frac{n}{2r} e^{1/4} < m$ . Así $|x_0-r| < \frac{r}{4n} = \frac{1}{6m}$ .

El procedimiento para hallar $x_0$ para una aritmética de precisión arbitraria eficiente puede ser la siguiente:

  Encontrar el número entero mínimo $d$ tal que $(2^d)^n \ge a$

  Búsqueda binaria en $[2^{d-1},2^d]$ encontrar $r$ hasta un error de $\frac{2^{d-1}}{4n}$

  Devuelve el límite superior cuando los límites superior e inferior están dentro del margen de error

  El límite superior está entre $r$ y $r+\frac{2^{d-1}}{4n} < r+\frac{r}{4n}$