Construcción de un espacio de medidas en el que $\mu(A) = 1$ si $A^C$ es incontable

Question

Estoy trabajando fuera de Salamon Medición e integración como preparación para el estudio de la probabilidad, y me encontré con el siguiente ejercicio.

Sea $X$ sea incontable y que $\mathcal{A} \subset 2^X$ sea el conjunto de todos los subconjuntos $A \subset X$ de forma que $A$ o $A^C$ es contable. [ ] $$ \mu(A) := \begin{cases} 0 &\mbox{if } A \ \text{is countable} \\ 1 &\mbox{if } A^C \ \text{is countable} \end{cases}$$ donde $A \in \mathcal{A}$ . Demuestre que $(X, \mathcal{A}. \mu)$ es un espacio de medidas. Describe las funciones medibles y sus integrales.

Pude intentar demostrar que $\mathcal{A}$ era un $\sigma$ -con el siguiente argumento:

( $\mathcal{A}$ es un $\sigma$ -álgebra). En $X$ podemos construir un conjunto contable $S = \bigcup_\limits{j \geq 1} S_j$ donde cada $S_j$ contiene $j$ elementos de $X$ . Por lo tanto, si $X^C = S$ entonces podemos decir $X \in \mathcal{A},$ y $\mathcal{A}$ es no trivial no vacío. Sea $T \in \mathcal{A},$ y supongamos $T$ es contable. Entonces $T^C \in \mathcal{A},$ como $(T^C)^C = T$ es contable. Por último, para demostrar el cierre bajo unión contable, observamos que si $Y_j$ es una colección contable de conjuntos en $\mathcal{A}$ entonces su unión debe ser a lo sumo contable, y por lo tanto en $\mathcal{A}$ . Así, $\mathcal{A}$ es un $\sigma$ -álgebra.

(El triple es un espacio de medida.) Se ve que todos los conjuntos tienen medida finita en este espacio. Queda por demostrar que esta medida es contablemente aditiva con respecto a conjuntos disjuntos. Sea $A_j$ sea una colección contable de conjuntos disjuntos en $\mathcal{A}.$ La medida cuenta el número de conjuntos cuyos complementos son contables.

Entonces me quedé atrapado allí. ¿Cómo puedo demostrar que $\mu$ ¿es contable aditivo? ¿Cómo puedo describir también cuáles son las funciones medibles?

Answer 1

(1) $\mu$ es una medida: Desde $\varnothing$ es contable, entonces $\mu(\varnothing)=0$ . Tomemos $E_1,E_2, \cdots \in \mathcal{A}$ disjuntos por pares. Si cada $E_n$ es contable, entonces $$ \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = 0 = \sum_{n=1}^{\infty} 0 =\sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n) $$ Si hay al menos un $j \in \mathbb{N}$ tal que $E_j^C$ es contable, afirmamos que ésta debe ser la única con esta propiedad. En efecto, si $k \neq j$ es tal que $E_k^C$ es contable, entonces $(E_k^C) \cup (E_j^C)= (E_k \cap E_j)^C=\emptyset^C= X$ pero $X$ es incontable por hipótesis y, por tanto, no puede escribirse como la unión de dos conjuntos contables. Entonces $E_j$ es el único conjunto incontable en la unión $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$ haciendo que dicha unión sea incontable. Por lo tanto $$ \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = 1 = \mu(E_j)=\sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n) $$ Tenemos que de hecho $\mu$ es una medida en $(X, \mathcal{A})$ .

(2) cuáles son las funciones medibles: Sea $\ f : X \to \mathbb{C}$ sea una función. Afirmamos que $f$ es medible si y sólo si existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $f(x) = \lambda$ para todos los $x \in X$ .

Considerando las partes real e imaginaria, vemos que basta con demostrar la afirmación para una función $ \ f : X \to \mathbb{R}$ . Para $t \in [-\infty, \infty]$ configure $$ E_t :=\{x \in X : f(x)<t\} $$ A continuación $$ \lambda := \sup_{t\in \mathbb{R}}\{E_t \text{ is countable }\}. $$ Si $\lambda = −\infty$ entonces $E_t^C$ es contable para todo $t \in \mathbb{R}$ . Así que $X = \bigcup_{n=0}^\infty E_{-n}^C$ es contable, una contradicción.

Así que $\lambda \neq -\infty$ . Elija una secuencia $(t_n)_{n=0}^{\infty}$ en $\mathbb{R}$ tal que $t_n < \lambda$ para todos $n$ y $\lim_{n\to \infty} t_n = \lambda$ . Entonces $E_λ = \bigcup_{n=0}^\infty E_{t_n}$ es contable. Esto implica $λ \neq \infty$ . Por lo tanto, existe una secuencia $(s_n)_{n=0}^{\infty}$ en $\mathbb{R}$ tal que $s_n > \lambda$ para todos $n$ y $\lim_{n\to \infty} s_n = \lambda$ . Entonces $E_{s_n}^C$ es contable para todos $n$ . Así que $$ \{x \in X : f(x) \neq \lambda \} = E_\lambda \cup \{x \in X: f(x)>\lambda\} = E_\lambda \cup \left( \bigcup_{n=0}^\infty E_{s_n}^C \right) $$ es contable.

Answer 2

Sugerencia : Si $(A_n)_n$ es una familia de conjuntos disjuntos por pares, contables o cocontables, entonces a lo sumo uno de ellos es cocontable.