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Ecuaciones de Cauchy Riemann, aplicación

Para $u: \Bbb C \to \Bbb R$ w $$u(x + iy) = 2x^3 - 6xy^2 + x^2 - y^2$$ encontrar una función $v: \Bbb C \to \Bbb R$ s.t. $f = u + iv$ es holomorfa.

Veo que tengo que verificar las ecuaciones de Cauchy Riemann, pero no he obtenido la solución correcta...

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J. W. Tanner Puntos 46

$\dfrac{\partial u }{\partial x}=6x^2-6y^2+2x=\dfrac{\partial v}{\partial y}$

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-12xy-2y=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$

$v=6x^2y-2y^3+2xy+f(x)$

$v=6x^2y+2xy+f(y)$

¿Puedes seguir desde aquí?

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Anders Beta Puntos 8

Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos:

$$f'(z)=\frac{df}{dz} =\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}=6x^2-6y^2+2x+12ixy+2iy$$

Pero $f'(z)=f'(x+iy)$ por lo que sustituir $x$ por $z$ y $y$ por cero en la última ecuación obtenemos:

$$f'(z)=6z^2+2z\;\Rightarrow\;f(z)=2z^3+z^2+C$$

donde $C$ es una constante. Pero $u(0,0)=0$ por lo que la constante tiene que ser puramente imaginaria $C=i\alpha$ de verdad $\alpha$ . Tomando la parte imaginaria de $f(z)$ obtenemos el $v(x,y)$ .

$$v(x,y) = \mathrm{Im}(2z^3+z^2+i\alpha)=6x^2y-2y^3+2xy+\alpha.$$

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