Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos:
$$f'(z)=\frac{df}{dz} =\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}=6x^2-6y^2+2x+12ixy+2iy$$
Pero $f'(z)=f'(x+iy)$ por lo que sustituir $x$ por $z$ y $y$ por cero en la última ecuación obtenemos:
$$f'(z)=6z^2+2z\;\Rightarrow\;f(z)=2z^3+z^2+C$$
donde $C$ es una constante. Pero $u(0,0)=0$ por lo que la constante tiene que ser puramente imaginaria $C=i\alpha$ de verdad $\alpha$ . Tomando la parte imaginaria de $f(z)$ obtenemos el $v(x,y)$ .
$$v(x,y) = \mathrm{Im}(2z^3+z^2+i\alpha)=6x^2y-2y^3+2xy+\alpha.$$