Problema de Laplace para encontrar la solución

Question

Tratando de averiguar cómo utilizar la transformada de Laplace para encontrar $y(t)$ : El problema es $$y''+4y'+4y=f(t)$$ donde $f(t) = \cos(\omega t)$ si $0 < t < \pi$ y $f(t)=0$ si $t > \pi$ ?

Las condiciones iniciales son $y(0) = 0$ , $y'(0) = 0$ .

Utilización de la transformada de Laplace: $L[y''] = s^2F(s) -s\cdot y(0) - y'(0)$ , $L[y'] = s\cdot F(s) - y(0)$ y $L[y] = F(s)$ que tengo para el lado izquierdo: $$(s+2)^2\cdot F(s) - 1$$ y para el lado derecho, $ \frac{s}{s^2 + w^2} + L[\cos(\omega t + \pi)]$ donde $\cos(\omega t + \pi)$ utilizando la identidad para $\cos(x+y)$ , $=\cos(-\omega t)$

Por lo tanto, el LHS es: $$ \frac{s}{s^2 + w^2} + e^{-s} \cdot \frac{s}{s^2 + ^2}$$

Answer 1

Para tu ecuación, tenemos la siguiente transformada de Laplace \begin{align} \mathcal{L}\{\ddot{y}+4\dot{y}+4y\} &=\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}\\ Y(s)(s + 2)^2 &= \int_0^{\infty}\cos(\omega t)e^{-st}dt\\ &= \int_0^{\pi}\cos(\omega t)e^{-st}dt + \int_{\pi}^{\infty}0\cdot e^{-st}dt \end{align} Ahora, vamos a encontrar la transformada de Laplace de la RHS. Sea $u=\cos(\omega t)$ y $dv = e^{-st}dt$ así que $du = -\omega\sin(\omega t)dt$ y $v=-\frac{1}{s}e^{-st}$ \begin{align} \int_0^{\pi}\cos(\omega t)e^{-st}dt &= \frac{-\cos(\omega t)e^{-st}}{s}\biggl|_0^{\pi} - \frac{\omega}{s}\int_0^{\pi}\sin(\omega t)e^{-st}dt\\ &= \frac{1}{s}(-\cos(\omega\pi)e^{-s\pi}+1)- \frac{\omega}{s}\int_0^{\pi}\sin(\omega t)e^{-st}dt \end{align} Volveremos a hacer la integración por partes donde esta vez $u=\sin(\omega t)$ así que $du = \omega\cos(\omega t)dt$ . \begin{align} \int_0^{\pi}\cos(\omega t)e^{-st}dt &= \frac{1}{s}(-e^{-s\pi}\cos(\omega\pi)+1)- \frac{\omega}{s}\Biggl[-\frac{\sin(\omega t)e^{-st}}{s}\biggr|_0^{\pi}+\frac{\omega}{s}\int_0^{\pi}\cos(\omega t)e^{-st}dt\Biggr]\\ &=\frac{1}{s}(-e^{-s\pi}\cos(\omega\pi)+1)+\frac{\omega}{s^2}\sin(\omega\pi)e^{-s\pi}-\frac{\omega^2}{s^2}\int_0^{\pi}\cos(\omega t)e^{-st}dt\\ \Bigl(1+\frac{\omega^2}{s^2}\Bigr)\int_0^{\pi}\cos(\omega t)e^{-st}dt&=\frac{1}{s}(-e^{-s\pi}\cos(\omega\pi)+1)+\frac{\omega}{s^2}\sin(\omega\pi)e^{-s\pi}\\ \int_0^{\pi}\cos(\omega t)e^{-st}dt&=\frac{s + e^{-s\pi}\omega\sin(\omega\pi)-se^{-s\pi}\cos(\omega\pi)}{s^2+\omega^2} \end{align} Por lo tanto, la transformada de Laplace es $$ Y(s) = \frac{s + e^{-s\pi}\omega\sin(\omega\pi)-se^{-s\pi}\cos(\omega\pi)}{(s^2+\omega^2)(s+2)^2} $$