Condición de compatibilidad para la EDP

Question

Me cuesta entender la siguiente derivación, del libro de G.B. Whitham Ondas lineales y no lineales , 1999 (Cap. 13, p. 466).

Las ecuaciones para $A$ son: $$ A_x + 2\eta\eta_x=0 \qquad A_t + \eta\eta_x=0 $$ así que integraría la ecuación de la izquierda a: $$ A = -\eta^2 $$ y reescribiría la ecuación de la derecha a: $$ A_t = \eta\eta_t $$ que conduce a $$ A=\frac12 \eta^2. $$ Entonces, ¿cómo pueden ser compatibles estas dos ecuaciones? Una duda similar se plantea para $B$ .

Answer 1

Queremos que las dos ecuaciones sean compatibles, es decir, que los coeficientes de los términos de primer orden sean igual (no necesariamente cero). Sustitución de todos los $t$ derivados restando el $x$ derivadas en los términos de primer orden, \begin{aligned} A_x + 2\eta\eta_x &= A_t + \eta\eta_x \\ &= -A_x + \eta\eta_x \, , \end{aligned} obtenemos $2A_x + \eta\eta_x = 0$ . Integración con respecto a $x$ da $A = -\frac{1}{4}\eta^2$ ya que $A$ es función de $\eta$ y su $x$ sólo derivados.

La derivación para $B$ es similar.