¿Cómo se vería un triángulo de pecado 90 grados

Question

Estoy estudiando trigonometría en mi escuela y aprendí que en un triángulo el lado opuesto al ángulo theta debe tomarse como lado perpendicular - la hipotenusa permanece igual y el tercer lado restante es la base.

Lo mismo se requiere para calcular el seno / coseno etc del ángulo theta para abajo fórmula para distancia / altura de objeto en aplicaciones de trigonometría -

 sin theta = Perpendicular / hypotenuse 
 cos theta = Base / hypotenuse 

El resto puede crearse utilizando los dos anteriores.

Así que en un triángulo ABC si el ángulo B es de 90 grados es fácil encontrar el seno A o el seno C - me refiero a qué lado es la perpendicular, la hipotenusa o la base. Pero entonces, ¿cómo encontrar los lados de pecado 90 - debemos tomar la hipotenusa como el lado perpendicular para el triángulo anterior como pecado B es pecado 90 desde el lado opuesto al ángulo será el lado perpendicular - entonces, ¿qué lado se debe tomar como hipotenusa y la base en tal caso

Answer 1

Se podría pensar lo siguiente: Dado que el lado opuesto al ángulo B es la hipotenusa, entonces: $$ sinB = \frac{hypotenuse}{hypotenuse} = 1$$

Sin embargo, siempre hay que mirar con atención y rigor las definiciones. El seno de un ángulo se define como la división del lado opuesto al ángulo por la hipotenusa. La hipotenusa no puede ser uno de los lados. Echar un vistazo al círculo trigonométrico puede ayudar:

El seno se define aquí siempre como el valor de $y$ dividido por 1 (hipotenusa) Cuando el ángulo es de 90°, entonces $y=1$ . No quiero parecer grosero, pero no tiene mucho sentido "elegir los lados" para calcular el seno de 90°. Espero haber ayudado.

Answer 2

La respuesta corta es que no se puede construir un triángulo rectángulo para visualizar $\sin 90^{\circ}$ .

El lado "opuesto" (o "perpendicular" según tu nomenclatura) tiene que ser distinto de la hipotenusa, no puede ser el mismo lado. Pero en una figura plana con dos ángulos rectos opuestos, nunca tendrás un vértice, ya que los lados paralelos nunca se encontrarán (es decir, no puedes construir un triángulo así).

Puedes acercarte arbitrariamente teniendo un ángulo recto verdadero con el otro ángulo acercándose mucho a un ángulo recto (con el tercer ángulo haciéndose progresivamente más pequeño). Esto dará como resultado un triángulo rectángulo muy "alto" y "estrecho" si lo orientas de una determinada manera. De esto se deduce que el lado opuesto al ángulo recto se acercará cada vez más a la longitud de la hipotenusa, con el seno de ese ángulo acercándose a $1$ desde abajo. En otras palabras, puede construir triángulos rectángulos planos que le permitan visualizar $ \sin x \to 1$ como $x \to 90^{\circ}$ pero en realidad no puedes dibujar el caso límite.

Answer 3

Otra forma de encontrar ángulos -

$\sin \theta = \frac{\text{Opposite Side}}{\text{Hyphotenuse}}$

$\cos \theta = \frac{\text{Adjacent Side}}{\text{Hyphotenuse}}$

Editar -

En tu caso

$\sin 90° = \frac{\text{Opposite Side}}{\text{Hyphotenuse}}$

Y en este caso el Lado Opuesto es la Hipotenusa misma.

Answer 4

Ángulo A - Primera posición

Mira el enlace anterior. El lado de la hipotenusa es el que mira hacia el ángulo recto. No cambia mientras el ángulo recto no cambie. $$ SinA = \frac{Opposite\ Side}{Hypotenuse} $$ y $$ CosA = \frac{Adjacent\ Side}{Hypotenuse} $$

Lado opuesto significa opuesto al ángulo para el que se está calculando el seno y el coseno. Un ángulo en un triángulo rectángulo se formará a partir de dos lados del triángulo: Hipotenusa y Lado Adyacente. El tercer lado será el lado opuesto de este ángulo.

Si simplemente cambiamos el ángulo para el que hay que calcular el seno y el coseno, los lados adyacentes y opuestos cambiarán, pero la hipotenusa seguirá siendo la misma ya que el ángulo recto no cambió.

Mira la siguiente imagen:

Ángulo A Segunda posición

¿Lo conseguiste?

Answer 5

Aunque la idea de medir el seno de un ángulo recto utilizando un triángulo degenerado (hipotenusa coincidente con el cateto opuesto y base de longitud cero) puede resultar intuitiva para algunos, no a todo el mundo le parece satisfactoria, como se puede ver en las otras respuestas.

¿Y qué pasa con el seno y el coseno de los ángulos entre $90$ y $180$ ¿Grados? Los necesitamos para aplicar la ley de los senos y la ley de los cosenos al vértice obtuso de un triángulo obtuso.

De hecho, a medida que se avanza en matemáticas puede resultar deseable encontrar senos y cosenos de ángulos mayores que $180$ grados, e incluso "ángulos" mayores que $360$ grados.

Los matemáticos resuelven este problema en las definiciones de las funciones trigonométricas mediante ampliando las definiciones de las funciones seno y coseno para que se ocupen de valores de entrada de cualquier tamaño. Las extensiones concuerdan con las definiciones de hipotenusa-opuesto-adyacente para ángulos mayores que cero pero menores que un ángulo recto, y conservan propiedades útiles como las fórmulas de suma de ángulos y las fórmulas de diferencia de ángulos para valores de entrada fuera de ese rango. Varias de estas definiciones ampliadas se enumeran en las respuestas a una pregunta anterior, ¿Cuántas formas hay de definir el seno y el coseno?

Mi definición ampliada favorita para un nivel de matemáticas en el que se está empezando a ir más allá de la definición elemental de triángulo rectángulo es la definición de círculo unitario. Observamos que si colocamos un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud unitaria en el plano cartesiano de forma que uno de los catetos esté en el polo positivo $x$ -y un extremo de la hipotenusa está en el origen de coordenadas, $(0,0),$ el $(x,y)$ las coordenadas del otro extremo de la hipotenusa son el coseno y el seno (respectivamente) del ángulo en el origen. Si tomamos entonces una secuencia de triángulos como ésta con ángulos crecientes en el origen, el otro extremo de la hipotenusa traza puntos a lo largo del círculo de radio unitario centrado en el origen. La idea de la definición de círculo unitario es que se utiliza la $(x,y)$ coordenadas de estos puntos como definición de coseno y seno, y para encontrar coseno y seno de $90$ grados o ángulos mayores, sólo tienes que seguir dando vueltas alrededor del círculo unitario. Una vez aceptado esto como definición, no hay nada ambiguo ni especial en el seno de $90$ grados, excepto quizás que es inusualmente fácil encontrar su valor.