Ejemplos de la vida real para los valores y vectores propios

Question

Ya hay buenas respuestas sobre la importancia de los valores propios / vectores propios, como esta pregunta y algunos otros, así como este Artículo de Wikipedia .

Conozco la teoría y estos ejemplos, pero ahora para preparar lo mejor posible un curso que voy a impartir, busco ideas sobre buenos ejemplos de la vida real de uso de estos conceptos.

¿Conoces alguna buena simple ejemplos de la vida real (en economía o análisis de datos o cualquier otra cosa), en la que el uso de los valores/vectores propios es una herramienta crucial?

Answer 1

Estos son algunos de los muchos usos de los vectores propios y los valores propios:

• Uso de la descomposición de valores singulares para la compresión de imágenes. Esta es una nota que explica cómo se puede comprimir una imagen desechando los pequeños valores propios de $AA^T$ . Se necesita un $8$ imagen de megapíxeles de un Allosaurus, y muestra el aspecto de la imagen después de comprimirla seleccionando $1$ , $10$ , $25$ , $50$ , $100$ y $200$ de los mayores valores singulares.

• Derivar la relatividad especial es más natural en el lenguaje del álgebra lineal. De hecho, el segundo postulado de Einstein afirma realmente que "la luz es un eigenvector de la transformada de Lorentz". Este documento repasa la derivación completa en detalle.

• Agrupación espectral. Ya sea en el ámbito de las plantas y la biología, las imágenes médicas, el comercio y el marketing, la comprensión de las conexiones entre campos en Facebook o incluso la criminología, agrupación es una parte muy importante del análisis de datos moderno. Permite encontrar subsistemas o patrones importantes dentro de conjuntos de datos ruidosos. Uno de estos métodos es la agrupación espectral, que utiliza los valores propios de un gráfico de una red. Incluso el vector propio del segundo valor propio más pequeño de la matriz laplaciana permite encontrar los dos mayores clusters de una red.

• Reducción de la dimensionalidad/PCA. Los componentes principales corresponden a los mayores valores propios de $A^TA$ y esto produce la proyección menos cuadrada en un hiperplano de menor dimensión, y los vectores propios se convierten en los ejes del hiperplano. La reducción de la dimensionalidad es extremadamente útil en el aprendizaje automático y el análisis de datos, ya que permite comprender de dónde procede la mayor parte de la variación de los datos.

• Factorización de bajo rango para la predicción colaborativa. Esto es lo que hace (o hacía) Netflix para predecir la calificación que tendrá una película que aún no has visto. Utiliza la SVD, y desecha los valores propios más pequeños de $A^TA$ .

• El algoritmo de Google Page Rank. El mayor vector propio del gráfico de Internet es la clasificación de las páginas.

Answer 2

En teoría de control y sistemas dinámicos tiene descomposición modal que es una herramienta muy útil para crear rápidamente la ecuación dinámica de un sistema dado (de la vida real)

Dado un sistema de ecuación diferencial:

$\dot x(t) = Ax(t)$ , $x(0) = x_o$ , $A$ tiene valores propios distintos

Entonces la solución de esta ecuación viene dada como

$x(t) = \sum\limits_{i=1}^n c_ie^{\lambda_it}v_i$

donde $c_i$ son los coeficientes correspondientes a la condición inicial $x(0)$ , $v_i$ es el $i$ el vector propio, y $\lambda_i$ es el $i$ el valor propio, no hace falta decir $v_i, \lambda_i$ forma un par

La interpretación física es que la solución corresponde a la respuesta no forzada/natural del sistema y se utiliza para analizar modelos de puentes, circuitos RC, masa-muelle-amortiguador, suspensión magnética, dinámica de fluidos, acústica, modelos de neuronas...

Además, podemos observar el valor propio de la $A$ para determinar la estabilidad del sistema. Si todos los valores propios se encuentran en el semiplano izquierdo abierto, entonces la matriz $A$ se conoce simplemente como Hurwitz (un resultado del álgebra lineal completamente desvinculado del sistema dinámico), y el sistema es asintóticamente estable. De lo contrario, tendrá un estado que nunca llega a cero, o explotará a medida que el tiempo llega al infinito.

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Este resultado es muy conocido, pero recibe diferentes nombres, en algún campo se conoce simplemente como el problema de los valores propios: http://jupiter.math.nctu.edu.tw/~tshieh/teaching/Math254_summerI2009/MAth254_summer_note/lecture16.pdf http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/RealEigenvalues.aspx https://see.stanford.edu/materials/lsoeldsee263/11-eig.pdf

También puede consultar referencias básicas sobre ODE, como Boyce y DiPrima

Answer 3

En la vida real, utilizamos los vectores propios y los valores propios a diario, aunque la mayoría de las veces de forma inconsciente.

Ejemplo 1: Cuando ves una película en la pantalla (TV/cine,..), aunque la(s) imagen(es)/película(s) que ves es en realidad 2D, no pierdes mucha información del mundo real 3D que está capturando. Esto se debe a que el vector propio principal está más orientado hacia el plano 2D que la imagen está capturando y cualquier pequeña pérdida de información (profundidad) es inferida automáticamente por nuestro cerebro. (razón por la que la mayoría de las veces tomamos fotos con la cámara mirando directamente hacia nosotros, no desde la parte superior de la cabeza). Cada escena requiere que se realcen ciertos aspectos de la imagen, por eso el fotógrafo elige el ángulo de su cámara para captar la mayoría de esos aspectos visuales. (aparte del color del vestuario, la escena de fondo y la música de fondo)

Ejemplo 2: Si usted come pizza, papas fritas,...o cualquier comida.... usted típicamente traduce su sabor en agrio, dulce, amargo, salado, picante, etc... componentes principales del sabor - aunque en realidad la forma en que se prepara un alimento se formula en términos de proporciones de ingredientes (azúcar, harina, mantequilla, etc.. Sin embargo, nuestra mente transformará toda esta información en los componentes principales del sabor (vector propio que contiene lo ácido, lo amargo, lo dulce, lo picante, etc.) automáticamente, junto con la textura y el olor del alimento. Así que utilizamos los vectores propios todos los días en muchas situaciones sin darnos cuenta de que es así como aprendemos sobre un sistema de forma más eficaz. Nuestro cerebro simplemente transforma todos los ingredientes, los métodos de cocción y el producto alimenticio final en un vector propio muy eficaz cuyos elementos son las subpartes del sabor, el olor y la apariencia visual internamente. (Todos los ingredientes y sus cantidades, junto con el procedimiento de cocción, representan una matriz de transformación A y podemos encontrar algunos vectores propios principales V con elementos como el sabor, el olor, la apariencia y el tacto que tienen una transformación lineal directamente relacionada. AV = wV , donde w representa valores propios escalares y V un vector propio) (los mejores catadores de vino probablemente tengan un vector propio más grande de sabor+olfato+apariencia y también con valores propios mucho más grandes en cada dimensión. Este concepto puede extenderse a cualquier campo de estudio).

Ejemplo 3: si tomamos fotos de una persona desde muchos ángulos (frontal, trasero, superior, lateral...) a diario y queremos medir los cambios en todo el cuerpo a medida que uno crece,... podemos obtener la mayor información desde el ángulo frontal con el eje de la cámara perpendicular a la línea que pasa desde la coronilla hasta un punto que pasa entre los pies. Este eje/ángulo de la cámara capta la información más útil para medir los cambios del cuerpo físico exterior de una persona a medida que avanza la edad. Este eje se convierte en un vector propio principal con los mayores valores propios. (Nota: los datos/imágenes que capturamos directamente desde la parte superior de la persona pueden dar una información muy poco útil en comparación con la cámara directamente orientada hacia ella en esta situación. Esta es la razón por la que utilizamos la técnica del PCA-Análisis de Componentes Principales para determinar los vectores propios más eficaces y los valores propios relacionados para capturar la mayor parte de la información necesaria sin preocuparse de todos los ejes restantes de la captura de datos).

Espero que esto ayude a entender por qué y cómo utilizamos los vectores propios y los valores propios para una mejor percepción en lo que hacemos en el día a día. Los vectores propios representan aquellos ejes de percepción/aprendizaje a lo largo de los cuales podemos conocer/comprender/percibir las cosas que nos rodean de manera muy eficaz.

Por último, se reduce a las diferencias entre persona y persona, en la construcción/refinamiento consciente/subconsciente de tales vectores propios principales y valores propios relacionados, en cada campo de aprendizaje que diferencian a una persona de otra. ( ex: músicos, artistas, científicos, matemáticos, camarógrafos, directores, profesores, médicos, ingenieros, padres, corredores de bolsa, predicción del tiempo, ....)

Answer 4

Los valores propios pueden ser aplicados de muchas maneras. su significado y el propósito dependen de su decisión o de la decisión aceptada de usar los valores propios como le parezca. En un ejemplo real se pueden determinar los valores propios para casi cualquier gráfico. se da lugar a la matriz que son vectores o traslaciones de sistemas eléctricos o movimientos mecánicos que luego se calculan los valores propios y se obtienen los vectores propios para esos valores. así que se tendrá que interpretar los resluts o volver a aplicar los datos al gráfico con el que se empezó y/o una lista de los valores y vectores e interpretar.

por lo que los sistemas eléctricos de los robots son un buen lugar para investigar estos valores. ayudan a determinar las respuestas eléctricas de los sistemas, como los voltajes, y las respuestas mecánicas, como los movimientos.

Espero que le sirva de ayuda

Answer 5

Déjeme darle una respuesta directa. En la aplicación los valores propios pueden ser: 1- Campo de control: los valores propios son el polo de los sistemas de lazo cerrado, si hay valores negativos para los sistemas analógicos entonces el sistema es estable, para los sistemas digitales si los valores están dentro del círculo de la unidad también el sistema es estable.

2- Sistema mecánico: los valores propios son la frecuencia natural y los valores propios son las formas modales.