Secuencia exacta corta elemental de láminas

Question

Esta pregunta surgió cuando intentaba utilizar esta respuesta para entender a Reid "Guía juvenil de las singularidades canónicas" . En particular la página 352 cuando se calcula la ampliación $Y\rightarrow A^2/\mu_3$ el cociente del plano afín el grupo cíclico de orden 3, se llega a la conclusión de que el divisor excepcional es $E\sim P^1$ (sin problemas) y $\mathcal{O}_E(-E)\sim \mathcal{O}(3)$ (problemas aquí).

Dada una variedad $Y$ y un divisor de Cartier efectivo $D$ en él, parece haber una secuencia exacta bastante estándar:

$$0 \longrightarrow \mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{O}_Y(D) \longrightarrow\mathcal{O}_D(D)\longrightarrow 0 $$ Según tengo entendido, si $U$ es un conjunto abierto en $S$ y $D\cap U = div(g)_U$ (para $D$ una hipersuperficie, si se quiere, y extender por linealidad), entonces

$$ \mathcal{O}_Y(D)(U)= \{g \in \mathcal{O}_Y(U) \vert div(g)\geq D \}$$

o equivalentemente $g/f$ es regular. El primer mapa debe ser algo como $g\rightarrow gf$ quizás con algo de orden. Una buena respuesta a mi pregunta incluiría:

1. ¿Es correcto?
2. ¿Qué es el $\mathcal{O}_D(D)$ ?
3. ¿Cuál es el segundo mapa?
4. ¿Qué significa $\mathcal{O}_D(-D)$ media
5. Por qué $\mathcal{O}_E(-E) \sim \mathcal{O}(3)$ ? ¿Entendí que el RHS está generado por polinomios de grado 3?

Soy consciente de que se trata de una pregunta sencilla y probablemente todo el mundo sepa por qué, pero no he podido encontrar una respuesta adecuada.

Answer 1

Ampliando el comentario de Donu Arapura, veamos $X$ sea una variedad y $Y\subset X$ una subvariedad. Entonces, se tiene una secuencia exacta corta de láminas $$ 0\to\mathcal I_Y\to\mathcal O_X\to\mathcal O_X/\mathcal I_Y\to 0, $$ donde $\mathcal I_Y$ es la gavilla ideal de $Y$ . Por definición, $\mathcal O_X/\mathcal I_Y=\mathcal O_Y$ es la gavilla de estructura de $Y$ .

Si $\mathcal F$ es cualquier gavilla invertible, entonces tensando por $\mathcal F$ deja la secuencia exacta, de modo que se tiene una secuencia exacta corta $$ 0\to\mathcal I_Y\otimes\mathcal F\to\mathcal F\to\mathcal O_Y\otimes\mathcal F\to 0 $$ y $\mathcal O_Y\otimes\mathcal F$ no es más que la restricción de $\mathcal F$ a $Y$ .

Ahora, supongamos que su $Y=D$ es un divisor (de Cartier), y $\mathcal F=\mathcal O_X(D)$ es su gavilla asociada (invertible) de secciones (funciones meromórficas con polos permitidos a lo largo de $D$ ). En este caso, $\mathcal I_D=\mathcal O_X(-D)$ y la secuencia exacta corta antes mencionada se convierte en $$ 0\to\mathcal O_X\to\mathcal O_X(D)\to\mathcal O_D(D)\to 0, $$ y $\mathcal O_D(D)$ no es más que la restricción $\mathcal O_X(D)\otimes\mathcal O_D$ de la gavilla invertible $\mathcal O_X(D)$ a la hipersuperficie $D$ .

Puede argumentar doblemente a favor de $\mathcal O_D(-D)$ que no es más que la restricción a $D$ de la gavilla invertible $\mathcal O_X(-D)$ .

Así que su "segundo mapa", es sólo el mapa de restricción.

Para tu última pregunta, una explicación heurística es la siguiente: volar un punto liso de una superficie para obtener una nueva superficie $\widetilde X$ y llamamos divisor excepcional $E$ . Entonces $\mathcal O_{\widetilde X}(-E)$ restringido a $E$ que es precisamente $\mathcal O_E(-E)$ puede demostrarse fácilmente que es isomorfo al haz de líneas (anti)tautológico $\mathcal O(1)$ en $\mathbb P^1\simeq E$ (puedes encontrarlo en todos los libros de introducción a la geometría algebraica). Ahora bien, estás volando un punto singular que es una singularidad cociente aislada de orden tres, por lo que en cierto sentido estás "contando tres veces" tu punto, de modo que $\mathcal O_E(-E)$ se convierte ahora en isomorfo de $\mathcal O(3)$ .

Answer 2

La respuesta de Diverietti es exhaustiva respecto a las cuatro primeras preguntas, así que permítanme decir algo sólo sobre la última.

El ejemplo de Miles Reid es en realidad un caso particular de lo siguiente situación más general, que se explica, por ejemplo, en el libro de Barth-Peters-Van de Ven sobre superficies complejas compactas.

Sea $n$ y $q$ sean números naturales con $0 < q < n$ , $(n,q)=1$ y que $\xi_n$ sea una primitiva $n-$ raíz de la unidad. Consideremos la acción del grupo cíclico $\mu_n=\langle \xi_n \rangle$ en $\mathbb{C}^2$ definido por

$\xi_n \cdot (x,y)=(\xi_nx, \xi_n^qy)$ .

Entonces la analítica espacio $X_{n,q}=\mathbb{C}^2 / \mu_n$ tiene una singularidad cíclica cociente de tipo $\frac{1}{n}(1,q)$ y $X_{n,q} \cong X_{n', q'}$ sólo si $n=n'$ y $q=q'$ ou $qq' \equiv 1$ (mod $n$ ). El divisor excepcional en el mínimo resolución $\tilde{X}_{n,q}$ de $X_{n,q}$ i (abreviatura de Hirzebruch-Jung string), es decir, una unión conexa $E=\bigcup_{i=1}^k Z_i$ de curvas racionales suaves $Z_1, \ldots, Z_k$ w auto-intersección $\leq -2$ y ordenados linealmente de forma que $Z_i Z_{i+1}=1$ para todos $i$ y $Z_iZ_j=0$ si $|i-j| \geq 2$ . Más concretamente, dada la fracción continua

$\frac{n}{q}=[b_1,\ldots,b_k]:=b_1- \cfrac{1}{b_2 -\cfrac{1}{\dotsb - \cfrac{1}{\,b_k}}}$ ,

tenemos

$(Z_i)^2=-b_i, \quad i=1, \ldots, k.$

En el caso considerado por Miles Reid, tenemos $n=3$ , $q=1$ es decir, la acción es

$\xi_3 \cdot (x,y)=(\xi_3x, \xi_3y)$ ,

por lo que la resolución es una curva suave única $E:=Z_1$ con auto-intersección $(-3)$ esto explica por qué $\mathcal{O}_E(-E)=\mathcal{O}(3)$ .

Obsérvese que existe otra posible acción de $\mu_3$ en $\mathbb{C}^2$ a saber

$\xi_3 \cdot (x,y)=(\xi_3x, \xi_3^2y)$ .

La fracción continua correspondiente es

$\frac{3}{2}=[2,2]=2- \frac{1}{2}$ ,

por lo que la resolución en este caso viene dada por dos curvas racionales suaves de auto-intersección $(-2)$ que se cruzan en un único punto (se trata de un punto doble racional de tipo $A_2$ ).