Sea H un espacio de Hilbert separable (e infinitamente dimensional). ¿Se sabe si existe un subconjunto infinito infinito C de H con las siguientes propiedades? (1) C es conexo y cerrado en H. (2) No existe ningún subconjunto infinito propio de C es conexo y cerrado en H.
Quizá la respuesta dependa de si se asume o no el axioma de la elección. En cualquier caso, ningún espacio euclidiano de dimensión finita -porque es localmente compacto- puede contener un subconjunto con estas propiedades.
El problema se ha resuelto .
Hay un espacio polaco que es ampliamente conectado .
Un espacio es ampliamente conectado si es conexo y cada subconjunto conexo con más de un punto es denso (por lo que cada subconjunto conexo es "ancho"). En las entradas y comentarios anteriores hay varias definiciones equivalentes.
Seguro que los teóricos del continuum han pensado en esta cuestión, ¿no?
Sí, lo han hecho. Apareció en varios libros de problemas, que es como me di cuenta de ello. La primera mención que he podido encontrar es de Paul Erdős, según Mary Ellen Rudin. Probablemente se remonta a los años 40, cuando Erdős publicaba sobre conjuntos conexos y teoría de dimensiones.
Algunas observaciones, no una respuesta.
1) Como señala BS, el problema es: ¿existe un espacio polaco conexo que no contenga ningún subespacio conexo adecuado cerrado no degenerado? En el lenguaje de la teoría de los continuos esto suena sospechosamente sencillo: ¿existe un espacio polaco conexo cuyos todos composantes ¿son solteros? O (aún de forma equivalente): ¿existe un espacio polaco conexo que sea irreducible entre cada par de puntos distintos? Seguro que los teóricos del continuo han pensado en esta cuestión, ¿no?
2) Como insinuó Garabed, dicho espacio $X$ no puede ser localmente compacta. De hecho, en espacios localmente compactos, los componentes coinciden con cuasicomponentes . Sea $F$ sea una bola cerrada de algún radio alrededor de algún $x\in X$ de modo que $F\ne X$ y que $C$ sea el componente de $x$ en $F$ . Si $C\ne\{x\}$ entonces $C$ es un subconjunto cerrado y conexo no degenerado de $X$ . Si $C=\{x\}$ entonces $\{x\}$ también es un cuasicomponente, por lo que $x$ está contenido en conjuntos cerrados arbitrariamente pequeños en $F$ . Entonces también son clopen en $X$ Así que $X$ no puede conectarse.
3) Existe un espacio polaco conexo $X$ que no contenga ninguna compacto subespacio conectado. Por ejemplo, el grafo de $f(x)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\sin(\frac1x-r_n)$ donde $r_n$ es el $n$ número racional (en algún orden) y $\sin(\infty)=0$ . Véase "Topología" de Kuratowski (volumen II, sección 47.IX en la edición de 1968). De hecho , tal $X$ puede incluso estar conectada localmente (por supuesto, no puede estar conectada localmente en ningún punto).
4) La gráfica de una función discontinua $f:\Bbb R\to\Bbb R$ satisfaciendo $f(x+y)=f(x)+f(y)$ puede ser conexa, y en ese caso no contiene ninguna no degenerada delimitado subconjunto conectado.
Esto no es realmente una respuesta, sólo observaciones sobre el problema, pero sería demasiado largo para un comentario. Disculpas.
Como ha señalado François Dorais en un comentario, se puede plantear la cuestión en términos de pulir espacios (es decir, espacios topológicos completamente metrizables y separables). Y puesto que un espacio métrico conexo con al menos dos puntos es infinito, preguntas si existe un espacio polaco conexo infinito tal que cualquier subespacio cerrado propio sea totalmente desconectable (equivalentemente, cualquier subconjunto conexo cerrado propio es un punto, o vacío).
Un primer intento (fallido) de un ejemplo sería el espacio completo de Erdös $E_c$ (Erdös, Annals of Math vol 41 1940), definido como el subespacio de $\ell^2(\mathbb{N})$ donde todas las coordenadas son irracionales. Es pulido y totalmente desconectado, pero admite un conectificación a saber, una topología (aún pulida) sobre $E_c\cup\{\infty\}$ que la hace conexa (y por supuesto induce la de $E_c$ ). Así que está bastante "poco" conectado, pero quizá no en su sentido.
Otra asombrosa propiedad de $E_c$ es que es homeomorfo al subespacio de $\ell^2(\mathbb{N})$ donde todas las coordenadas pertenecen a $\{0\} \cup \{1/n\}_{n\geq 1}$ . Esto suena bastante improbable.
Todo esto (y mucho más) se explica en los artículos sobre JJ Dijkstra página de publicaciones por ejemplo, 27, 30 y 32.
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