Encuentre $m$ para que la ecuación tenga dos raíces dentro del intervalo dado

Question

Se nos da la siguiente ecuación:

$$x^2 - (2m - 5)x + 3m - 1 = 0$$

Tenemos que encontrar $m \in \mathbb{R}$ de modo que la ecuación dada tiene dos raíces reales distintas en $[1, 2]$ .

Para que la ecuación tenga dos raíces reales distintas, el discriminante tiene que ser mayor que 0. Ésta es la primera condición.

La segunda condición que encontré es que $f(1) \cdot f(2) < 0$ ( $f$ es una función que denota la parte izquierda de la ecuación anterior), esto se debe a que $f$ debe intersecar el $X$ eje entre $1$ y $2$ .

Sin embargo, estas dos condiciones no son suficientes, necesito una más.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

$$\Delta = (2m-5)^2-4(3m-1)= 4(m-4)^2-35$$

Para $\Delta \ge 0$ , $$m \ge 4+\frac{\sqrt{35}}{2} \quad \text{or} \quad m \le 4-\frac{\sqrt{35}}{2}$$

$$2m-5 \ge 3+\sqrt{35} \quad \text{or} \quad 2m-5 \le 3-\sqrt{35}$$

$$2m-5 > 3+5 \quad \text{or} \quad 2m-5 < 3-5$$

$$\frac{\alpha+\beta}{2} > 4 \quad \text{or} \quad \frac{\alpha+\beta}{2} < -1$$ que más allá de $[1,2]$

Es imposible tener todas las raíces reales en $[1,2]$

Answer 2

CONSEJO

Para $f(x)=ax^2 +bx +c$ para tener dos raíces reales distintas en [1,2] las condiciones son

1. discriminante superior a 0

2. $\frac {-b} {2a} \in [1,2]$

3. $f(1) \cdot f(\frac {-b} {2a}) \le 0$ y $f(2) \cdot f(\frac {-b} {2a}) \le 0$ y $f(\frac {-b} {2a}) \ne 0$

Answer 3

Pista:

Si $x_1$ y $x_2$ son las dos raíces en el intervalo $[1,2]$ que: $$ 2\le x_1+x_2\le 4 \qquad \mbox{and}\qquad 1\le x_1x_2\le 4 $$

Así que..:

$$ \begin{cases} 2m-5\ge2\\ 2m-5\le4\\ 3m-1\ge 1\\ 3m-1\le 4 \end{cases} $$

¿qué puedes encontrar de esto?