¿Qué es la "imagen de interacción" o "marco giratorio" en mecánica cuántica?

Question

$\renewcommand{\ket}[1]{\left\lvert #1 \right\rangle}$ En los cursos típicos de mecánica cuántica, aprendemos sobre la llamada "imagen de Schrodinger" y la "imagen de Heisenberg". En la imagen de Schrodinger, la ecuación de movimiento hace que los estados dependan del tiempo, $$i \hbar \partial_t \ket{\Psi(t)} = H(t) \ket{\Psi(t)}$$ mientras que en la imagen de Heisenberg la ecuación aporta dependencia temporal a los operadores, $$i \hbar \partial_t A(t) = [A(t), H(t)] \, .$$

Cuando tenemos un Hamiltoniano que se puede dividir en una parte "fácil" $H_0(t)$$ ^{[a]} $ and a time dependent "difficult" part $ V(t) $, $$ H(t) = H_0(t) + V(t)$$ se habla del "cuadro de interacción" o del "cuadro de rotación". ¿Cuál es la diferencia entre la imagen de interacción y el marco giratorio, y cómo funcionan?

$[a]$ : Suponemos que $H_0(t)$ conmuta consigo mismo en diferentes momentos.

Answer 1

$$\renewcommand{\ket}[1]{\left \lvert #1 \right \rangle}$$

Idea básica: el marco giratorio "desenrolla" parte de la evolución del estado cuántico para que la parte restante tenga una dependencia temporal más simple. La imagen de interacción es un caso especial del marco giratorio.

Consideremos un Hamiltoniano con una parte "simple" independiente del tiempo $H_0$ y una parte dependiente del tiempo $V(t)$ : $$H(t) = H_0 + V(t) \, .$$

Denotemos el operador de evolución temporal (propagador) del Hamiltoniano completo $H(t)$ como $U(t,t_0)$ . En otras palabras, el estado de la imagen de Schrodinger obedece a $\ket{\Psi(t)} = U(t, t_0) \ket{\Psi(t_0)}$ .

El operador de evolución temporal de sólo $H_0$ es (suponiendo que $H_0$ es independiente del tiempo, o al menos conmuta consigo misma en diferentes momentos) $$U_0(t, t_0) = \exp\left[ -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t dt' \, H_0(t') \right] \, .$$ Tenga en cuenta que $$i\hbar \partial_t U_0(t, t_0) = H_0(t) U_0(t, t_0) \, .$$

Definir un nuevo vector de estado $\ket{\Phi(t)}$ como $$\ket{\Phi(t)} \equiv R(t) \ket{\Psi(t)}$$ donde $R(t)$ es un "operador de rotación". Ahora halle la dependencia temporal de $\ket{\Phi(t)}$ : \begin{align} i \hbar \partial_t \ket{\Phi(t)} =& i \hbar \partial_t \left( R(t) \ket{\Psi(t)} \right) \\ =& i \hbar \partial_t R(t) \ket{\Psi(t)} + R(t) i \hbar \partial_t \ket{\Psi(t)} \\ =& i \hbar \dot{R}(t) \ket{\Psi(t)} + R(t) H(t) \ket{\Psi(t)} \\ =& i \hbar \dot{R}(t) R(t)^\dagger \ket{\Phi(t)} + R(t) H(t) R(t)^\dagger \ket{\Phi(t)} \\ =& \left( i \hbar \dot{R}(t) R(t)^\dagger + R(t) H(t) R(t)^\dagger \right) \ket{\Phi(t)} \, . \end{align} Por lo tanto, $\ket{\Phi(t)}$ obedece a la ecuación de Schrodinger con un Hamiltoniano modificado $H'(t)$ definido como $$H'(t) \equiv i \hbar \dot{R}(t) R(t)^{\dagger} + R(t) H(t) R(t)^\dagger \, . \tag{$ \estrella $}$$ Esta es la ecuación de movimiento en el bastidor giratorio .

Opciones útiles de $R$ dependen del problema de que se trate. Elegir $R(t) \equiv U_0(t, t_0)^\dagger$ tiene la propiedad especialmente útil de que el primer término de $(\star)$ anula la $H_0(t)$ parte del segundo término, dejando \begin{align} i \hbar \partial_t \ket{\Phi(t,t_0)} = \left( U_0(t, t_0)^\dagger V(t) U_0(t, t_0) \right)\ket{\Phi(t, t_0)} \, . \end{align} que es la ecuación de Schrodinger con Hamiltoniano efectivo $$H'(t) \equiv U_0(t)^\dagger V(t) U_0(t) \, .$$ Esto se denomina imagen de interacción . También se conoce con el nombre de Imagen de Dirac .