Diferenciación para una función en la forma integral.

Question

Quiero saber en general cómo diferenciamos una función $F(x)$ de la siguiente forma, $$F(x)=\int_a^x f(x,t)dt$$ Por ejemplo, si podemos calcular la forma explícita de $F(x)$ como en el ejemplo siguiente $$F(x)=\int_0^x e^{xt}dt=\frac{e^{x^2}-1}{x}$$ si diferenciamos $F(x)$ obtenemos $$\frac {dF(x)}{dx}=\frac{2x^2e^{x^2}-e^{x^2}+1}{x^2}$$ Este sencillo ejemplo muestra un enfoque muy diferente del caso en el que diferentes $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ lo que nos da simplemente $f(x)$ .

Ahora supongamos que tengo la fórmula para calcular el dinero que obtengo después de $T$ años, $P(T)$ con depósito continuo, cuya tasa viene dada por $S(t)$ y la capitalización continua, cuya tasa anual viene dada por $r$ . La fórmula es $$P(T)=\int_0^TS(t)e^{r(T-t)}dt$$ Desde el $S(t)$ no se indica explícitamente, ¿cómo puedo obtener una expresión para $\frac{dP(T)}{dT}$ ?

He intentado utilizar el primer principio $$\frac{dP(T)}{dT}=\lim_{\Delta T\to0} \frac{P(T+\Delta T)-P(T)}{\Delta T}$$ y no pude entenderlo. ¿Hay alguna manera de encontrar una expresión para la derivada $\frac{dP(T)}{dT}$ ?

Answer 1

Tenemos que $$ \eqalign{ & F(x + dx) - F(x) = \int_{t = a}^{x + dx} {f(x + dx,t)dt} - \int_{t = a}^x {f(x,t)dt} = \cr & = \int_{t = a}^x {\left( {f(x + dx,t) - f(x,t)} \right)dt} + \int_{t = x}^{x + dx} {f(x + dx,t)dt} = \cr & = \left( {\int_{t = a}^x {f_x (x,t)dt} } \right)dx + f(x + dx,x)dx = \cr & = \left( {\int_{t = a}^x {f_x (x,t)dt} } \right)dx + f(x,x)dx + f_x (x,x)\left( {dx} \right)^2 \quad \Rightarrow \cr }$$

$$ \Rightarrow \quad {d \over {dx}}F(x) = \int_{t = a}^x {{\partial \over {\partial x}}f(x,t)dt} + f(x,x) $$

Así que en su ejemplo $$ \eqalign{ & {d \over {dx}}F(x) = \int_{t = 0}^x {{\partial \over {\partial x}}e^{\,x\,t} dt} + e^{\,x^{\,2} } = \cr & = \int_{t = 0}^x {te^{\,x\,t} dt} + e^{\,x^{\,2} } = \left. {{{e^{\,x\,t} \left( {tx - 1} \right)} \over {x^2 }}\,} \right|_{t = 0}^x + e^{\,x^{\,2} } = \cr & = {{e^{\,x^{\,2} } \left( {\,x^{\,2} - 1} \right)} \over {x^2 }} + {1 \over {x^2 }} + e^{\,x^{\,2} } = {{\,2e^{\,x^{\,2} } x^{\,2} - e^{\,x^{\,2} } + 1} \over {x^2 }} \cr} $$

Answer 2

Puede imponer $a=Tt$ por lo que tienes que la integral es

$P(T)=\frac{1}{T}\int_0^1 S(\frac{a}{T})e^{r\frac{(T^2-a)}{T}}da$

Así que

$\frac{d}{dT}P(T)=\frac{1}{T}\int_0^1[-\frac{a}{T^2}S’(\frac{a}{T})e^{r\frac{(T^2-a)}{T}}+$

$+r(1+\frac{a}{T^2}) e^{r\frac{(T^2-a)}{T}} S(\frac{a}{T})]da$

Answer 3

Desea utilizar Regla integral de Leibniz . Si $f(x,t)$ es suficientemente regular se cumple la siguiente fórmula

$$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\, dt = f\big(x,b(x)\big) b'(x) - f\big(x,a(x)\big)a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\, dt\,.$$