Inducción fuerte - demuestre que $n \le 3^\frac{n}3$ para cada número entero $n \ge 0$ .

Question

Esta pregunta se hizo en otro lugar, pero estoy teniendo problemas con el álgebra en el paso inductivo. Y si no te importa, hágamelo saber si algo más parece descaradamente mal también.

Hasta ahora he :

Supongamos que el predicado $P(n)$ donde $n \le 3^\frac{n}3$ . Demostraremos que esto es cierto para cada $n\ge 0$ mediante inducción fuerte. Base: $P(0)= 0 \le 1$ , $P(1)= 1\le 3^\frac13$ , $P(2)= 2\le3^\frac23$ , $P(3)= 3=3$ se mantiene para los cuatro primeros números

Paso inductivo: Sea $n=k$ . Supongamos que $P(k)$ es verdadera cuando $k$ es $3 \le i \le k$ y $i$ siendo algún número entero menor que $k$ . Demostraremos que esto también es válido para el $k+1$ caso: $4 + 5 + ... + k + (k+1) \le 3^\frac{k+1}3$ .

Utilizando el álgebra: $-(k+1) \le 3^\frac13 * 3^\frac{k}3$
$-3^{-\frac13}*(k+1) \le 3^\frac{k}3$
$-3^{-\frac13}*(k+1) \le k$ (sustituyendo $P(k)$ volver a entrar)
atascado aquí...

Answer 1

Suponga que sabe que es cierto hasta $k$ . Para $k \ge 4$ tenemos $$3^{\frac {k+1}3}=3\cdot 3^{\frac {k-2}3}\ge 3\cdot (k-2)\gt k+1$$

Answer 2

Pista: Demostraría que $$n^3\le 3^n$$ entonces tenemos que Demostrar que $$(n+1)^3\le 3^{n+1}$$ Multiplicando la primera desigualdad por $3$ obtenemos $$3^{n+1}\geq 3n^3\geq (n+1)^3$$

Answer 3

Está claro que para $n = 1,2,3,4$ . (Casos base). Supongamos que es cierto para $n$ Ahora observe que \begin{equation} n+1\leq 3^{\frac{n}{3}} + 1 = 3^{-\frac{1}{3}}3^{\frac{n+1}{3}} + 1 \end{equation} Pero la función $f(x) = 3^{-\frac{1}{3}}x + 1 \leq x$ para $x \in [x_0,\infty]$ donde $x_0 = \frac{1}{1-3^{-\frac{1}{3}}} \simeq 3.2612$ . Así lo hemos probado para $n \geq 4$ .