Suma de combinaciones de n tomadas k donde k es de n a (n/2)+1

Question

Me pregunto si existe una fórmula para obtener la suma de $n\choose k$ donde $k$ es de $n$ a $\frac{n}{2}+1$ . He descubierto que en los números impar, es $2^{n-1}$ (powerset dividido por $2$ ).

• 1 = 1
• 3 = 4
• 5 = 16
• 7 = 64

Sin embargo, no es el caso de los números pares. No puedo dar con el patrón. He aquí mi observación

• 2 = 1
• 4 = 5
• 6 = 22
• 8 = 93

Answer 1

Recordemos que $$\sum_{k=0}^n \dbinom{n}k = 2^n$$ Además, recuerde que $$\dbinom{n}k = \dbinom{n}{n-k}$$ Por lo tanto, para impar $n$ tenemos \begin{align} 2^n & = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}k\\ & = \sum_{k=0}^{(n-1)/2} \dbinom{n}k + \sum_{k=(n+1)/2}^n \dbinom{n}k\\ & = \sum_{k=0}^{(n-1)/2} \dbinom{n}{n-k} + \sum_{k=(n+1)/2}^n \dbinom{n}k\\ & = \sum_{k=(n+1)/2}^n \dbinom{n}k + \sum_{k=(n+1)/2}^n \dbinom{n}k\\ & = 2\sum_{k=(n+1)/2}^n \dbinom{n}k \end{align} Por lo tanto, si $n$ es impar, tenemos $$\sum_{k=(n+1)/2}^n \dbinom{n}k = 2^{n-1}$$ Si $n$ es par, tenemos \begin{align} 2^n & = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}k\\ & = \sum_{k=0}^{n/2-1} \dbinom{n}k + \dbinom{n}{n/2} + \sum_{k=n/2+1}^n \dbinom{n}k\\ & = \sum_{k=0}^{n/2-1} \dbinom{n}{n-k} + \dbinom{n}{n/2} + \sum_{k=n/2+1}^n \dbinom{n}k\\ & = \sum_{k=n/2+1}^n \dbinom{n}k + \sum_{k=n/2+1}^n \dbinom{n}k + \dbinom{n}{n/2}\\ & = 2\sum_{k=n/2+1}^n \dbinom{n}k + \dbinom{n}{n/2} \end{align} Por lo tanto, si $n$ es par, tenemos $$\sum_{k=n/2+1}^n \dbinom{n}k = 2^{n-1} - \dfrac12 \dbinom{n}{n/2}$$