Restricción de $\sigma$-álgebra de productos vs. $\sigma$-álgebra de productos de restricciones

Question

Sea $(X,\mathscr M)$ un espacio medible y $A,B\in\mathscr M$ dos subconjuntos medibles no vacíos. Considera las siguientes construcciones: \begin{align*} \mathscr{M}_A\equiv&\,\{E\in\mathscr M\,|\,E\subseteq A\},\\ \mathscr{M}_B\equiv&\,\{E\in\mathscr M\,|\,E\subseteq B\},\\ (\mathscr{M}\otimes\mathscr M)_{A\times B}\equiv&\,\{F\in\mathscr M\otimes\mathscr M\,|\, F\subseteq A\times B\}, \end{align*} donde $\mathscr M\otimes\mathscr M$ es la $\sigma$-álgebra producto en $X\times X$. Es claro que $\mathscr M_A$, $\mathscr M_B$ y $(\mathscr M\otimes\mathscr M)_{A\times B}$ son $\sigma$-álgebras en $A$, $B$ y $A\times B$, respectivamente. Me pregunto si \begin{align*} \mathscr{M}_A\otimes\mathscr M_B=(\mathscr{M}\otimes\mathscr M)_{A\times B}. \end{align*> NB: $\mathscr{M}_A\otimes\mathscr M_B$ es la σ-álgebra producto correspondiente a los espacios medibles $(A,\mathscr M_A)$ y $(B,\mathscr M_B)$.

Puedo ver fácilmente que $\subseteq$, pero si $\mathscr{M}_A\otimes\mathscr M_B\supseteq(\mathscr{M}\otimes\mathscr M)_{A\times B}$ es verdadero me ha dejado pensando.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Probemos que $(\mathscr{M}\otimes\mathscr M)_{A\times B}\subseteq\mathscr{M}_A\otimes\mathscr M_B$.

Sea $j:A\times B\to X\times X$ la inclusión canónica dada por $j(x)=x$ y $\mathscr{R}\subseteq 2^{X\times X}$ sea el conjunto de rectángulos medibles. Los rectángulos medibles en $A\times B$ son exactamente $\mathscr{S}=\{j^{-1}(R):R\in\mathscr{R}\}$. Dado que $\mathscr{M}\otimes\mathscr{M}=\sigma(\mathscr{R})$ y $\mathscr{M}_A\otimes\mathscr{M}_B=\sigma(\mathscr{S})$, es suficiente demostrar el siguiente lema:

Lema: Sean $S$ y $T$ conjuntos, $f:S\to T$ una función y $\mathscr{T}$ una $\sigma$-álgebra generada por la familia $\mathscr{G}$. Entonces $$\sigma\Big(\{f^{-1}(G):G\in\mathscr{G}\}\Big)=\{f^{-1}(B):B\in\mathscr{T}\}.$$

Prueba: Llamemos $\mathscr{S}$ a la $\sigma$-álgebra a la izquierda. La familia $\mathscr{F}=\{B\subseteq T:f^{-1}(B)\in\mathscr{S}\}$ es una $\sigma$-álgebra en $T$ que contiene a $\mathscr{G}$. Por lo tanto, $\sigma(\mathscr{G})=\mathscr{T}\subseteq\mathscr{F}$ y

$$\{f^{-1}(B):B\in\mathscr{T}\}\subseteq\{f^{-1}(B):B\in\mathscr{F}\}\subseteq\mathscr{S}=\sigma\Big(\{f^{-1}(G):G\in\mathscr{G}\}\Big).$$ Dado que $\mathscr{G}\subseteq\mathscr{T}$, también tenemos $$\sigma\Big(\{f^{-1}(G):G\in\mathscr{G}\}\Big)\subseteq\sigma\Big(\{f^{-1}(B):B\in\mathscr{T}\}\Big)=\{f^{-1}(B):B\in\mathscr{T}\},$$

entonces $$\mathscr{S}=\{f^{-1}(B):B\in\mathscr{T}\}.$$